Презентация на тему Числовые неравенства

мы научились проводить различные арифметические операции над ними, такие

как алгебраические преобразования выражений или решение уравнений. Настало время неравенств.

Неравенства

– это значит, что a-b - положительное число; a

– это значит, что a-b – отрицательное число.

Числовые неравенства обладают рядом свойств, знание которых поможет нам в дальнейшем работать с неравенствами.

вы знаете: до сих пор математическая модель практически любой

реальной ситуации, которую мы рассматривали, представляла собой либо уравнение, либо систему уравнений. На самом деле встречаются и другие математические модели — неравенства, просто мы пока таких ситуаций избегали.

и для исследования функций. Например, с неравенствами связаны такие

известные вам свойства функций, как наибольшее и наименьшее значения функции на некотором промежутке, ограниченность функции снизу или сверху. С неравенствами связано и свойство возрастания или убывания функции, о котором пойдет речь в одном из следующих параграфов. Так что, как видите, без знания свойств числовых неравенств нам не обойтись. Да мы сами уже могли убедиться в необходимости умения работать с неравенствами.

условию, a>b, т.е. а -b — положительное число. Аналогично,

так как b>с, делаем вывод, что b-с — положительное число.

Сложив положительные числа а-Ь и Ь-с, получим положительное число. Имеем (а-Ь) +(Ь-с)=а-с. Значит, а-с — положительное число, т.е. а>с, что и требовалось доказать.

множества действительных чисел, т.е. числовую прямую. Неравенство а>Ь означает,

что на числовой прямой точка а расположена правее точки b, а неравенство Ь>с — что точка b расположена правее точки с . Но тогда точка а расположена на прямой правее точки с, т. е. а > с.

a

b

c

X

к обеим частям неравенства прибавить одно и то же

действительное число, то знак уравнения не меняется.

и m

если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства следует сохранить. Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства следует изменить (<на>,>на<).

неравенства на одно и то же положительное или отрицательное

число m, то поскольку деление на m всегда можно заменить умножением на 1/m .

Если a>b и m>0, то am>bm;

Если a>b и m<0, то am

умножив обе части неравенства a>b на -1, получим -а

Это значит, что если изменить знаки у обеих частей неравенства, то надо изменить и знак неравенства: если а>b, то -а<-b.

a>b, то, согласно свойству 2, a+c>b+c. Аналогично, так как

c>d, то b+c>b+d. Итак, a+c>b+c, b+c>b+d.Тогда, в силу свойства 1, получаем, что a+c>b+d.

числа, и a>c, c>d,то ac>bd.


Доказательство:
Так как а>Ь и с>0,

то ас> Ьс. Аналогично, так как c>b и Ь>0, то cb>ab. Итак, ac>bc, bc>bd. Тогда, согласно свойству 1, получаем, что ac>bd.

и а>b, то а в степени n > b

в степени n, где n — любое натуральное число.

Смысл свойства 6 заключается в следующем: если обе части неравенства — неотрицательные числа, то их можно возвести в одну и ту же натуральную степень, сохранив знак неравенства.

сЬ и

с>d – неравенствами противоположного смысла. Свойство 5 означает, что при умножении неравенств одинакового смысла, у которых левые и правые части — положительные числа, получится неравенство того же смысла.

Оглавление

уравнения, т.е. находить те значения переменной, при которых уравнение

обращается в верное числовое равенство. Точно так же свойства числовых неравенств помогут нам решать неравенства с переменной, т. е. находить те значения переменной, при которых неравенство с переменной обращается в верное числовое неравенство. Каждое такое значение переменной называют обычно решением неравенства с переменной.

получим 5

данного неравенства. Подставив вместо х значение 1, получим 7<7 - неверное неравенство; поэтому х=1 не является решением данного неравенства. Подставив вместо х значение -3, получим -6+5<7, т. е. -1<7 - верное неравенство; следовательно, х=-1 - решение данного неравенства. Подставив вместо х значение 2,5, получим 2*2,5+5<7, т.е. 10<7 - неверное неравенство. Значит, х=2,5 не является решением неравенства.

путь: ни один математик не станет так решать неравенство,

ведь все числа невозможно перебрать! Вот тут-то и нужно использовать свойства числовых неравенств, рассуждая следующим образом.

- верное числовое неравенство. Но тогда и 2x+5-5

верное неравенство (согласно свойству 2: к обеим частям неравенства прибавили одно и то же число - 5). Получили более простое неравенство 2x<2. Разделив обе его части на положительное число 2, получим (на основании свойства 3) верное неравенство х<1.

является любое число х, которое меньше 1. Эти числа

заполняют открытый луч (-,1). Обычно говорят, что этот луч — решение неравенства 2х+5<7 (точнее было бы говорить о множестве решений, но математики, как всегда, экономны в словах). Таким образом, можно использовать два варианта записи решений данного неравенства: х<1 или (-,1).

неравенств следующими правилами:

части неравенства в другую с противоположным знаком, не изменив

при этом знак неравенства.

одно и то же положительное число, не изменив при

этом знак неравенства.

Правило 2