Слайд 2
Цилиндрический брус
Назовём цилиндрическим брусом, или цилиндроидом,
тело, ограниченное плоскостью Oxy, поверхностью z=f(x,y) и цилиндрической поверхностью,
образующая которой параллельна оси Oz (рис). Область D, вырезаемая цилиндрическим брусом на плоскости Oxy, называется основанием
цилиндра, а цилиндрическая поверхность – его боковой поверхностью.
Слайд 3
Вычисление объема цилиндрического бруса
Слайд 4
Продолжение
Объём цилиндра приближённо
выражается
суммой
где Δσi –площадь элементарной ячейки .
Таким образом, переходя к пределу при условии, что
max diamΔσi→0, мы получим точный объём цилиндра:
Слайд 5
Определение двойного интеграла
Определение. Если существует конечный
предел интегральных сумм при условии, что max diam Δσi→0,
не зависящий ни от разбиения области D на элементарные ячейки, ни от выбора точек Mi, то он называется двойным интегралом по области D от функции z=f(x,y) и обозначается
Слайд 6
Продолжение
Таким образом, по определению
=
В этой формуле f(x,y) называют подынтегральной функцией, D – областью интегрирования, а dσ – элементом площади.
=
.
Слайд 7
Некоторые определения
Назовём область D замкнутой, если
этой области принадлежат как внутренние, так и граничные точки
области, то есть если граница области причисляется к самой области.
Слайд 8
Некоторые определения
Кривая называется гладкой, если эта
кривая непрерывна и в каждой точке имеет касательную, непрерывно
меняющую своё положение от точки к точке. Очевидно, кривая будет гладкой, если её уравнение на плоскости Oxy может быть записано в виде y=f(x) (a≤x≤b), где функция f(x) непрерывна и имеет непрерывную производную на данном интервале (a,b).
Слайд 9
Некоторые определения
Кусочно – гладкой мы называем
кривую, которую можно разбить на гладкие кривые точками. Например,
кусочно – гладкой кривой является ломаная. Сформулируем без доказательства теорему.
Слайд 10
Условие существования двойного интеграла
Если область D
с кусочно – гладкой границей Г ограничена и замкнута,
а функция f(x,y) непрерывна в области D, то двойной интеграл
как предел соответствующих интегральных сумм, существует и не зависит ни от разбиения области D на элементарные ячейки, ни от выбора точек Mi(.
В дальнейшем мы будем предполагать, что условия этой теоремы выполнены.
Слайд 11
Двойной интеграл в декартовых координатах
Так как
двойной интеграл не зависит от способа разбиения области на
элементарные ячейки, то в декартовых координатах область разбивают на ячейки прямыми, параллельными координатным осям.
Тогда элемент площади dσ в
декартовых координатах полагают равным
dσ=dxdy.
Слайд 12
Двойной интеграл в декартовых координатах
Тогда имеем
=
Слайд 13
Правильная в направлении оси оУ область
Пусть
область ограничена сверху и снизу кривыми, изображенными на рисунке,
а с боков – отрезками прямых. Прямая, параллельная оси, пересекает нижнюю и верхнюю границы области не более, чем в 2-х точках. Такую область называют правильной в направлении оси Оу.
Слайд 14
Двукратный интеграл
Назовем двукратным интегралом по области,
простой и правильной в направлении оси Ох , интеграл
вида
Здесь сначала вычисляют внутренний интеграл, а затем внешний.
Слайд 15
Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
Слайд 16
Сведение двойного интеграла к двукратному
Двойной интеграл
по области, простой и правильной в направлении оси Ох,
сводится к двукратному интегралу по такой области:
Слайд 17
Если область простая и правильная в направлении оси
оХ
