Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.

Обратная связь

Презентация на тему Элементы дифференциального исчисления

Содержание

2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной1. Производные2. Таблица
3. Производная. Задача о касательной Определение. Если
4. Производная. Задача о касательной Обозначим угол
5. Производная. Определение Пусть функция у =
6. Производная. Определение Если существует конечный (или
7. Примеры Ясно, что угловой коэффициент касательной равен производной в точке касания. Приведем примеры.
8. Уравнение касательной Касательную как прямую, проходящую
9. Теоремы о производных
10. Теоремы о производных
11. Теоремы о производных
12. Теоремы о производныхНапример:y' не существует в точке
13. Примеры
14. Примеры
15. Производная обратной функции Теорема. Пусть функция
16. Примеры Для функции y=arcsinx обратной является
17. Примеры Итак, Аналогично можно получить
18. Теорема о производной сложной функции
19. Производная степенной функции Справедливо тождество Тогда
20. Производные гиперболических функций Гиперболическими называют функции
21. Производные гиперболических функций Поэтому
22. Таблица производных
23. Таблица производных13.
24. Лекция 5
25. Дифференцируемая функция
26. Дифференциал функции
27. Определение дифференциала Пусть приращение функции в
28. Определение дифференциала Тогда главная линейная относительно
29. Дифференциал функции
30. Дифференциал функции
31. Дифференциал функции
32. Инвариантность дифференциала По правилу дифференцирования сложной
33. Производные высших порядков
34. Дифференциалы высшего порядка Дифференциал от дифференциала
35. Дифференцирование функций, заданных параметрически Пусть функция
36. Пример Найти производную функции Имеем
37. Производные неявных функций Пусть значения х
38. Пример Продифференцируем функцию
39. Продолжение Найдем вторую производную.
40. Скачать презентацию
41. Похожие презентации

Дифференциальное исчисление функций одной переменной1. Производные2. Таблица производных3. Дифференциал4. Производные и дифференциалы высших порядков5. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях6.Применение производных к исследованию функций7. Общая схема исследования функции и построение графика

Главная
Математика
Элементы дифференциального исчисления

Элементы дифференциального исчисленияЛекция 4

Дифференциальное исчисление функций одной переменной1. Производные2. Таблица производных3. Дифференциал4. Производные и дифференциалы

Производная. Задача о касательной Определение. Если существует предельное положение секущей

Производная. Задача о касательной Обозначим угол наклона касательной к графику функции

Производная. Определение Пусть функция у = определена в

Производная. Определение Если существует конечный (или бесконечный)

Примеры Ясно, что угловой коэффициент касательной равен производной в точке касания. Приведем примеры.

Уравнение касательной Касательную как прямую, проходящую через точку касания

Теоремы о производныхНапример:y' не существует в точке

Производная обратной функции Теорема. Пусть функция х=f(y) монотонна и дифференцируема в

Примеры Для функции y=arcsinx обратной является функция x=siny , которая в

Производная степенной функции Справедливо тождество Тогда

Производные гиперболических функций Гиперболическими называют функции

Производные гиперболических функций Поэтому

Определение дифференциала Пусть приращение функции в точке может быть представлено в

Определение дифференциала Тогда главная линейная относительно часть

Инвариантность дифференциала По правилу дифференцирования сложной функции Здесь форма дифференциала

Дифференциалы высшего порядка Дифференциал от дифференциала данной функции называется ее дифференциалом

Дифференцирование функций, заданных параметрически Пусть функция у от х задана параметрическими

Производные неявных функций Пусть значения х и у связаны уравнением F(x,y)=0.

Продолжение Найдем вторую производную. Так как

Логарифмическое дифференцирование Найти производную функции Прологарифмируем обе части:

Слайды презентации

Слайд 2 Дифференциальное исчисление функций одной переменной
1. Производные
2. Таблица производных
3.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной1. Производные2. Таблица производных3. Дифференциал4. Производные и

Дифференциал
4. Производные и дифференциалы высших порядков
5. Некоторые теоремы о

дифференцируемых функциях
6.Применение производных к исследованию функций
7. Общая схема исследования функции и построение графика

Слайд 3 Производная. Задача о касательной

Определение. Если существует

предельное положение
секущей при

стремлении вдоль по кривой, то оно называется касательной к графику функции в точке .

Слайд 4 Производная. Задача о касательной
Обозначим угол наклона

касательной к графику функции в точке
Очевидно,

при а
стремится к
.
Тогда угловой коэффициент касательной равен .

Слайд 5 Производная. Определение
Пусть функция у =

Производная. Определение Пусть функция у = определена в интервале

определена в интервале и

пусть точка
Рассмотрим далее точку
В обеих точках вычислим значения функции и разность .
Эту разность будем называть приращением функции в фиксированной точке .

Слайд 6 Производная. Определение
Если существует конечный (или бесконечный)

= ,
то он называется конечной (или бесконечной) производной функции в точке и обозначается
символами или , т.е.

Слайд 7 Примеры
Ясно, что угловой коэффициент касательной равен

производной в точке касания. Приведем примеры.

Слайд 8 Уравнение касательной
Касательную как прямую, проходящую через

точку касания

, задают уравнением . Например, уравнение касательной к кривой в точке (1;2) имеет вид у-2=2(х-1) или 2х-у=0.

Слайд 9 Теоремы о производных

Слайд 10 Теоремы о производных

Слайд 11 Теоремы о производных

Слайд 12 Теоремы о производных
Например:

y' не существует в точке

Слайд 13 Примеры

Слайд 14 Примеры

Слайд 15 Производная обратной функции
Теорема. Пусть функция х=f(y)

монотонна и дифференцируема в некотором интервале (a,b) и имеет

в точке у этого интервала не равную нулю производную . Тогда в соответствующей точке х обратная функция имеет производную
или .

Слайд 16 Примеры
Для функции y=arcsinx обратной является функция

x=siny , которая в интервале (-π/2;π/2) монотонна и дифференцируема.

Ее производная в этом интервале в нуль не обращается. Поэтому

Слайд 17 Примеры
Итак,

Аналогично можно получить

Слайд 18 Теорема о производной сложной функции

Слайд 19 Производная степенной функции
Справедливо тождество

Тогда

Слайд 20 Производные гиперболических функций

Гиперболическими называют функции

Слайд 21 Производные гиперболических функций
Поэтому

Слайд 22 Таблица производных

Слайд 23 Таблица производных
13.

14.

Слайд 24

Лекция 5

Слайд 25 Дифференцируемая функция

Слайд 26 Дифференциал функции

Слайд 27 Определение дифференциала
Пусть приращение функции в точке

может быть представлено в виде

, где -приращение аргумента, А-величина, не зависящая от , -бесконечно малая более высокого порядка ,
чем при

Слайд 28 Определение дифференциала
Тогда главная линейная относительно

Определение дифференциала Тогда главная линейная относительно часть приращения функции

часть приращения функции называется дифференциалом функции

в точке и обозначается .
Итак, по определению .
Теорема. Для того чтобы в точке х функция имела дифференциал, необходимо и достаточно, чтобы она в этой точке имела производную.

Слайд 29 Дифференциал функции

Слайд 30 Дифференциал функции

Слайд 31 Дифференциал функции

Слайд 32 Инвариантность дифференциала
По правилу дифференцирования сложной функции

Инвариантность дифференциала По правилу дифференцирования сложной функции Здесь форма дифференциала остается

Здесь форма дифференциала остается неизменной, но под дифференциалом

аргумента понимается не приращение этого аргумента, а его дифференциал.

Слайд 33 Производные высших порядков

Слайд 34 Дифференциалы высшего порядка
Дифференциал от дифференциала данной

функции называется ее дифференциалом второго порядка и обозначается

. По определению

Итак, и т.д.

Слайд 35 Дифференцирование функций, заданных параметрически
Пусть функция у

от х задана параметрическими уравнениями

И пусть эти

функции дифференцируемы. Тогда Если существует вторая производная, то

Слайд 36 Пример
Найти производную функции

Имеем

Слайд 37 Производные неявных функций
Пусть значения х и

у связаны уравнением F(x,y)=0. Если функция у=f(х), определенная на

некотором промежутке, при подстановке ее вместо у в уравнение F(x,y)=0 обращает это уравнение в тождество, то говорят, что это уравнение задает функцию у=f(х) неявно.