Презентация на тему Элементы планиметрии

фигуры, целиком принадлежащей одной плоскости.
Аддитивность (от латинского additivus –

прибавляемый) – свойство величин, состоящее в том, что значение величины, соответствующее целому объекту, равно сумме объемов составляющих его частей.
Аддитивность площади означает, что площадь фигуры равна сумме площадей её частей, если этих частей конечное число.

Площади плоских фигур

Сторона напротив прямого угла называется гипотенузой. Две прилежащие к

прямому углу стороны называют катетами.

Теорема Пифагора – одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.
Теорема Пифагора : в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы (с) равен сумме квадратов катетов (a и b).
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

Прямоугольный треугольник

!

– координатами: абсциссой и ординатой.
Если у двух точек одинаковые

абсциссы или одинаковые ординаты, то соответствующие отрезки параллельны осям координат. В таких случаях длину отрезка можно найти, если вычесть различающиеся координаты точек.

Прямоугольный треугольник

А(4;10), В(4; 2), С(6;2)

площадь треугольника, изображённого на координатной плоскости.


Примеры задач

стороны (a) на высоту (h), проведенную к этой стороне:


Как

правило, в качестве высоты и основания удобно брать те стороны, которые проходят по линиям клеточной бумаги (или же проходит параллельно осям координат).

Площадь произвольного треугольника

90 градусам). Противоположные стороны прямоугольника попарно равны.
Площадь прямоугольника (квадрата)
Площадь

прямоугольника равна произведению его смежных сторон:

Прямоугольник, все стороны которого равны, называется квадратом.
Площадь квадрата равна квадрату его стороны:

!

!

на треугольники и прямоугольники ИЛИ достроить до треугольника или

прямоугольника.
Примеры произвольных многоугольников:

Площадь произвольного многоугольника

равны. В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны и делятся пополам

точкой пересечения.

Площадь ромба

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:



Квадрат является ромбом.
Ромб является параллелограммом и обладает его свойствами.

!

!

попарно равны.
Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Площадь параллелограмма

равна произведению длины его стороны (a) на высоту (h), проведённую к этой стороне:


Прямоугольник, квадрат, ромб – это четырехугольники, которые являются параллелограммом. Они обладают свойствами параллелограмма.

Площадь параллелограмма

Параллелограмм – четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, т.е. лежат на параллельных прямых.

!

между собой, а две другие не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются

основаниями, а непараллельные – боковыми сторонами.

b

Площадь трапеции равна половине
произведения суммы оснований (a + b)
на высоту (h):

удалены от данной точки (центра), лежащей в той же

плоскости, что и кривая.

Круг – множество точек плоскости, удаленных от заданной точки этой плоскости (центр круга — О) на расстояние, не превышающее заданное (радиус круга).
Площадь круга равна произведению числа π на квадрат радиуса:

Площадь круга

C отрезка AB, где A(xA, yA) и B(xB,yB):

оси Ох (очи абсцисс), то их ординаты

состоящая из трёх звеньев.







Угол, образованный сторонами треугольника и лежащий

в его внутренней области, называется внутренним углом, а смежный к нему является смежным углом треугольника.

Треугольник

Основные элементы треугольника ABC: Вершины – точки A, B, и C; Стороны – отрезки a = BC, b = AC и c = AB, соединяющие вершины; Углы – α , β, γ образованные тремя парами сторон. Углы часто обозначают так же, как и вершины, – буквами A, B и C.

?

отрезки, обладающие интересными свойствами: высоты, медианы, биссектрисы и средние

линии, которые связаны с видами треугольников.
По сторонам выделяют разносторонний (произвольный), равнобедренный и равносторонний (правильный) треугольники.





По углам выделяют прямоугольный, остроугольный и тупоугольный треугольники.

Виды треугольников

c

c

?

треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону.

Свойства высоты треугольника:
Высота треугольника
В

прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному треугольнику.
В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.
Если треугольник остроугольный, то все основания высот принадлежат сторонам треугольника, а у тупоугольного треугольника две высоты попадают на продолжение сторон.
Три высоты в остроугольном треугольнике пересекаются в одной точке и эту точку называют ортоцентром треугольника.

?

это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Свойства

медианы треугольника:

Медиана треугольника

Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.

?

seko – «рассекаю») называют заключенный внутри треугольника отрезок прямой,

который делит пополам его угол.

Свойства биссектрисы треугольника:

Биссектриса треугольника

A

B

C

Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон.
Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке. Это точка называется центром вписанной окружности.
Биссектрисы внутреннего и внешнего углов перпендикулярны.

O

lc

la

lb

?

двух сторон.
Средняя линия треугольника параллельна одной из сторон треугольника

и равна её половине.
Три средние линии треугольника образуют «вписанный» в него треугольник, называемый серединным. Его площадь в четыре раза меньше площади данного треугольника.

Средняя линия треугольника

?

равны между собой. По определению, правильный треугольник также является

равнобедренным.





Свойства равнобедренного треугольника:

Равнобедренный треугольник

a – длина двух равных сторон равнобедренного треугольника,
b – длина третей стороны,
α и β – соответствующие углы,
R – радиус описанной окружности,
r – радиус вписанной окружности.

Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой.
Биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из этих углов, равны.
Биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию совпадают между собой.
Центры вписанной и описанной окружностей лежат на этой линии.
Углы, противолежащие равным сторонам, всегда острые .

?