Презентация на тему Комплексные числа и их свойства

обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как

формальная сумма x + iy, где x и y — вещественные числа, i — мнимая единица
Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочелен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней Это одна из главных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках.

вещественных чисел, в котором многочлен z2 + 1 имеет

корень. Следующие две элементарные модели показывают, что непротиворечивое построение такой системы чисел возможно.
Стандартная модель
Комплексное число z можно определить как упорядоченную пару вещественных чисел (x,y). Введём операции сложения и умножения таких пар следующим образом:

комплексных чисел и представлены парами вида , причём операции

с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Ноль представляется парой единица — амнимая единица— На множестве комплексных чисел ноль и единица обладают теми же свойствами, что и на множестве вещественных, а квадрат мнимой единицы, как легко проверить, равен , то есть − 1.
Несложно показать, что определённые выше операции имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами. Исключением являются только свойства, связанные с отношением порядка (больше-меньше), потому что расширить порядок вещественных чисел, включив в него все комплексные числа так, чтобы операции по-прежнему были согласованы с порядком, невозможно.
Матричная модель
Комплексные числа можно также определить как семейство вещественных матриц вида
с обычным матричным сложением и умножением. Действительной единице будет соответствовать
мнимой единице