Презентация на тему Метод математической индукции

зависящих от натуральной переменной, для всех значений этой переменной.

Один из наиболее распространенных методов доказательств истинности таких предложений является
метод математической индукции

им при расследовании дел?
Правильно, метод дедукции – метод

рассуждения, при котором новое положение выводится логическим путем от общих положений к частным выводам.
А какой метод рассуждений является противоположным дедукции?
Верно, индукция – способ рассуждения от частных положений к общим выводам.
«Это невозможно!»- скажешь ты, вспомнив тему сегодняшнего урока. Математикам не свойственно делать общие выводы на основании частных случаев. Не спеши огорчаться, математики придумали свою индукцию – математическую, которая не уступает в строгости другим математическим методам.

считается истинным для всех натуральных значений переменной

, если выполняются следующие условия:
Предложение верно при ;
Для любого натурального числа из предположения, что верно для , следует, что оно верно и для .

);
индуктивное предположение (допущение, что предложение

верно для любого натурального );
индуктивный переход (доказательство, что верно предложение с помощью индуктивного предположения).

чисел равна , т.е. доказать формулу
(1)

. Так как значение говорит

о количестве слагаемых в левой частим равенства, то левая часть равенства представляет собой одно слагаемое, а именно первое, т.е. 1. Значение правой части равенства находится непосредственной подстановкой вместо единицы, т.е. . Сравнивая левую и правую части равенства, имеем (верно).

при , для любого

натурального , т.е. верна формула

при

, т.е. (2)
Замечание. В левой части равенства мы написали предпоследнее слагаемое, что дает возможность использовать при доказательстве индуктивное предположение.
Используя пункт 2), заменим в левой части равенства (2) первые слагаемых на выражение , а последнее слагаемое упростим, раскрыв скобки. Тогда левая часть примет вид


Свернем последнее выражение, используя формулу квадрата суммы:
.
Итак, левая часть имеет вид , а, значит, равна правой.
Отсюда, формула (1) верна для любого натурального .

доказательства. О чем свидетельствуют следующие примеры.

следующему за ним , таким образом, доказывая, что все

натуральные числа равны между собой.
Доказательство. Пусть утверждение верно при некотором , т.е. . Покажем, что тогда . Действительно, прибавим к обеим частям единицу . Значит, все натуральные числа равны между собой.
Абсурдное утверждение! Где допущена ошибка?

Точнее покажем, что любое конечное общество кошек одного цвета.
Доказательство

поведем индукцией по - числу кошек в обществе.

истинно.
Индуктивное предположение. Допустим, что утверждение

истинно для любого натурального .
Индуктивный переход. Рассмотрим произвольный набор из кошки. Выведем из этого общества одну кошку, назовем ее Муркой. Оставшиеся кошек по предположению индукции одного цвета. Вернем Мурку и заберем другую, которую назовем Нюркой. Опять по предположению индукции оставшиеся в обществе кошек одного цвета, причем такого же, как Мурка и Нюрка.
Вывод: любое конечное общество кошек одного цвета.
Найти ошибку в рассуждении.

начинаться с 1. В качестве базы индукции может выступать

любое целое число , и тогда формулировка метода математической индукции примет вид.
Предложение считается истинным для всех целых значений переменной , если выполняются следующие условия:
Предложение верно при ;
Для любого целого числа из предположения, что верно для , следует, что оно верно и для .