Презентация на тему Методы аппроксимации, интерполяции, экстраполяции в математическом пакете Mathcad. (Лекция 4)

или ином смысле близкими к исходным (в частности, приближенное

выражение сложной функции с помощью более простых).

f(x) некоторой функцией φ (x) так, чтобы отклонение функции

φ (x) от f(x) в заданной области было наименьшим. Функция φ (х) при этом называется аппроксимирующей.

которые называются узлами интерполяции, и значения некоторой функции f(x) 

в этих точках

Простейшая задача интерполяции

f(x0) = y0, f(x1) =  y1,  . . .,  f(xn) = yn.

Требуется построить функцию F (х) (интерполяционная функция), принадлежащую известному классу и принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и f(x), т. е. такую, что

F(x0) = y0, F(x1) =  y1,  . . ., F(xn) = yn.

Геометрически это означает, что нужно найти кривую y = F (х) некоторого определенного типа, проходящую через заданную систему точек M(xi, yi) (i = 0, 1, ..., n)

множество решений или совсем не иметь решений.

Заданные точки М(xi, yi) (i = 0, 1, ...,

n) соединяются прямолинейными отрезками, и функция f(x) приближается к ломаной с вершинами в данных точках

Уравнения каждого отрезка ломаной линии в общем случае разные. Поскольку имеется n интервалов (xi , xi + 1), то для каждого из них в качестве уравнения интерполяционного полинома используется уравнение прямой, проходящей через две точки.

Следовательно, при использовании линейной интерполяции сначала нужно определить интервал, в который попадает значение аргумента x, а затем подставить его в формулу и найти приближенное значение функций в этой точке.

Линейная интерполяция

В частности, для i - го интервала можно написать уравнение прямой, проходящей через точки (xi , yi) и (xi + 1, yi + 1), в виде:

существующие точки данных прямыми линиями (соединяет точки данных отрезками

прямых, создавая таким образом ломаную). Это выполняется функцией linterp.

нашли кубические сплайны. Основные идеи теории кубических сплайнов сформировались

в результате попыток математически описать гибкие рейки из упругого материала (механические сплайны), которыми издавна пользовались чертежники в тех случаях, когда возникала необходимость проведения через заданные точки достаточно гладкой кривой. Известно, что рейка из упругого материала, закрепленная в некоторых точках и находящаяся в положении равновесия, принимает форму, при которой ее энергия является минимальной.

Кубическая сплайн-интерполяция

Теория сплайнов - новый раздел современной вычислительной математики, интенсивно развивающийся в последние годы.

Линейная интерполяция, по существу, является простейшим сплайном первой степени, квадратичная интерполяция - второй.

Сплайны позволяют эффективно решать задачи обработки экспериментальных зависимостей между параметрами, имеющих достаточно сложную структуру.

Это фундаментальное свойство позволяет эффективно использовать сплайны при решении практических задач обработки экспериментальной информации.

требуется найти приближение y = φ (x) таким образом,

чтобы f (xi) = φ (xi) в точках x = xi, a в остальных точках отрезка [a, b] значения функций f(x) и φ (x) были близкими между собой.

таким образом, что первые и вторые производные кривой непрерывны

в каждой точке. Кривая образуется путем создания ряда кубических полиномов, проходящих через наборы из трех смежных точек. Кубические полиномы затем состыковываются друг с другом, чтобы образовать одну кривую.

interp(vs, vx, vy, x) - возвращает интерполируемое значение y, соответствующее аргументу x. Вектор vs вычисляется на основе векторов данных vx и vy по одной из функций pspline, lspline или cspline.

и vy, содержащие координаты x и y, через которые

нужно провести кубический сплайн. Элементы vx должны быть расположены в порядке возрастания.

Вычислить вектор vs = cspline(vx,vy). Вектор vs содержит вторые производные интерполяционной кривой в рассматриваемых точках. Чтобы найти интерполируемое значение в произвольной точке x0 , вычислите
interp(vs, vx, vy, x0) , где vx, vy - векторы, описанные ранее.

или

Вычислить interp(cspline(vx, vy),vx, vy, x0)

набор интерполируемых значений, соответствую-щих вектору заданных точек. Это можно

сделать и с interp, и с linter.

Интерполяция вектора точек

На примере показано, как выполнить эту операцию. Чтобы применить оператор векторизации к функции, щелкните мышью на имени функции и нажимайте клавишу пробел, пока в рамку не попадет нужная функция. Затем нажмите Ctrl + - (минус).

в точках, находящихся вне области расположения сетки, на которой

заданы значения функции. Эта функция использует линейный алгоритм предсказания, который является полезным, когда экстраполируемая функция является гладкой и осциллирующей, хотя не обязательно периодической. Линейное предсказание можно рассматривать как разновидность экстраполяции, но нельзя путать с линейной или полиномиальной экстраполяцией.

Линейное предсказание (экстраполяция)

позволяет существенно повысить представительность сложных графиков функций, в том

числе и контурных.

как и в одномерном случае, но теперь нужно определить

сетку узлов, через которые должна пройти поверхность.