Презентация на тему Полный дифференциал функции нескольких переменных

переменным дать приращение, то функция получит полное приращение

называется дифференцируемой в точке М(х,у), если ее полное приращение можно представить в виде
,
где Δx и Δy -произвольные приращения аргументов х и у в некоторой окрестности точки М(х,у), А и В –постоянные, независящие от Δx и Δy , o(ρ)-бесконечно малая более высокого порядка, чем
-расстояние между М(х,у) и

Δy часть полного приращения функции

называется полным дифференциалом этой функции и обозначается dz или df(x,y) . Таким образом, .

дифференцируема в точке М(х,у),то она имеет в этой точке частные производные и , причем =А, а =В .
Так что,
.
Если положить ,то

, то есть

,
или
.
Пример. Вычислить приближенно
.

z=f(x,y) называется

Вообще:
Если х и

у независимые переменные, то .

в точке

функция f (x,y) имеет максимум, если cуществует такая окрестность этой точки, что для всех точек P(x,y) этой окрестности, отличных от , выполнено неравенство

Аналогично определяется минимум функции.
Минимум и максимум функции называются ее экстремумами.

.

(необходимое условие экстремума). В точке экстремума функции нескольких переменных

каждая ее частная производная либо равна нулю, либо не существует.
Точки, в которых выполнены эти условия, называются критическими.

Теорема. Пусть функция z=f(x,y) определена и имеет непрерывные частные

производные до 3-го порядка в некоторой окрестности точки , в которой . Если при этом в этой точке выполнено условие , то точка является точкой экстремума функции, причем точкой максимума, если , и точкой минимума, если
.
Если же в этой точке , то экстремума в точке нет.
В том случае, если в точке , теорема ответа не дает.

или наибольшее значение функции в данной области называется абсолютным

экстремумом функции (абсолютным минимумом или абсолютным максимумом соответственно) в этой области.

ограниченной области функция достигает в ней своих наибольшего и

наименьшего значений.
Абсолютный экстремум достигается функцией либо в критических точках, либо на границе области.

области G, дифференцируема внутри этой области. Чтобы найти наибольшее

и наименьшее значения функции в этой области, нужно:
1)найти критические точки, принадлежащие этой области, и вычислить в них значения функции;
2)найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области;
3)из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

в треугольнике, ограниченном прямыми

,

.

в области D пространства Охуz задана функция u=u(х,у,z). В

этом случае говорят, что в области D задано скалярное поле, а саму функцию u=u(х,у,z)называют функцией поля. Например, поле давлений, температур и т.д.

для которых скалярное поле сохраняет постоянное значение, т. е.

u(М)=С, называется поверхностью уровня ( или изоповерхностью) скалярного поля.

Оху, то поле u=u(х,у) является плоским.

Поверхности уровня называют в этом случае линиями уровня.

. Линии уровня

этой поверхности имеют вид

скалярного поля.
Рассмотрим точку этого поля и луч , выходящий из точки P в направлении единичного вектора

где –углы, образованные вектором с осями координат .

– какая-нибудь другая точка этого луча. Обозначим

– расстояние между точками P и ; называют величиной перемещения. Приращением функции в направлении назовем разность

P по направлению называется предел отношения приращения

функции в направлении
к величине перемещения
при : .

по направлению:

где u=u(x,y,z)-дифференцируемая функция, называется вектор с координатами

.

Таким образом,

или .

u=

в точке M(6,2,3).
Решение. Вычислим градиент функции.





Тогда grad u = + +

А в точке М

равна проекции градиента этой функции на данное направление (в

соответствующей точке).

представляет собой скорость изменения функции в данном

направлении , а проекция вектора на другой вектор имеет максимальное значение, если оба вектора совпадают по направлению, то
градиент функции в данной точке указывает направление наиболее быстрого возрастания функции.

плоского скалярного поля ,т.е.

 grad u  =
обозначается tg и определяет крутизну наибольшего ската или подъема поверхности u = f (x, y).

точке по величине и направлению равен максимальной скорости изменения

поля в этой точке, т. е.
,

где .