Презентация на тему Предел числовой последовательности

последовательностей
Возрастание и убывание числовых последовательностей
Предел числовой последовательности
Гармонический ряд
Свойства

2,  3, …,  n – 1,  n, п +

Обычно числовая последовательность задаётся некоторой формулой уn = f(n), позволяющей найти любой член последовательности по его номеру n; эта формула называется формулой общего члена.

ряд натуральных чисел;
2,  4,  6,  8,  10, … –

рекуррентной формулы.
Примеры:
Последовательность простых чисел:
2; 3; 5; 7;

все ее члены не больше некоторого числа.

Пример: -1, -4, -9, -16, …, -п2, … - ограничена сверху 0.

Последовательность {уn} ограниченна сверху, если существует число M такое, что для любого п выполняется неравенство
уп ≤ М
Число М называют верхней границей последовательности.

все ее члены не меньше некоторого числа.

Пример: 1, 4, 9, 16, …, п2, … - ограничена снизу 1.

Последовательность {уn} ограниченна снизу, если существует число m такое, что для любого п выполняется неравенство
уп ≥ m
Число m называют нижней границей последовательности.

Если последовательность ограничена и сверху и снизу, то ее называют ограниченной последовательностью.

последовательностью, если каждый ее член больше предыдущего:
у1 < y2

Пример: 1, 3, 5, 7, 9, 2п-1, … - возрастающая последовательность.

Последовательность {уn} называют убывающей последовательностью, если каждый ее член меньше предыдущего:
у1 > y2 > y3 > y4 > … > yn > yn+1 > …

Пример: 1, 1/3, 1/5, 1/7, 1/(2п–1), … - убывающая последовательность.

Возрастающие и убывающие последовательности называют монотонными

которой приближается к некоторому числу a при увеличении порядкового

Число а называется пределом числовой последовательности {уn}:


если для любого ε > 0 найдется такое число
N = N(ε), зависящее от ε, что │un – a│< ε при n > N

числовой последовательности, если её общий член неограниченно приближается к

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся; в противном случае – расходящейся.

│q│> 1, то последовательность уn = q n
расходится

произведению пределов:
предел суммы равен сумме пределов:

постоянный множитель можно вынести

Пример:
Дано: b1 + b2 + b3 +

у = b является горизонтальной асимптотой графика функции y

х

у

y = f(x)

0

у = b

Будем говорить, что функция f(x) стремится к пределу b при x → ∞, если для произвольного малого положительного числа ε можно указать такое положительное число M, что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству |x| > M, выполняется неравенство |f(x) - b| < ε.

к пределу b при x → a, если для

х

y = f(x)

0

b

у

а