Презентация на тему Применение элементов математического анализа при решении задач

поиску способа решения;
Цели урока
- Учиться переводить язык задачи на

- Учиться выстраивать цепочку логических рассуждений при переходе от языка функции к языку геометрии или механики

производной
Задачи на применение первообразной
Задачи на геометриче- ский и физический

Задачи на исследование монотонности, экстремумов, нахождение наибольшего и наименьшего значения, на оптимизацию

Задачи на вычисление площадей фигур

Задачи на применение физического смысла первообразной

задана функция (аналитически или графически)
2. Задачи, в условии которых

Базовые умения.
Что можно найти, зная формулу задания функции?
Что можно найти, зная формулу задания производной?
Что можно найти, если известно значение производной в точке?

Функция

f’(x)

x0

f’(x0)

f’(x0)=k=tgα

s’(t0)=v(t0)

решается по плану: f’(x), f’(x0), k= f’(x0).
ЗАДАНИЕ 1
1а)Выполните анализ

Функция

f’(x)

x0

f’(x0)

f’(x0)=k=tgα

s’(t0)=v(t0)

f(x)=5x2+7x+2

2

1

3

2

1в) Сформулируйте задачу, обратную 1а) и составьте план её решения.
Найдите абсциссу точки касания, если тангенс угла наклона касательной к графику функции f(x) =5x2+7x+2 равен 27

Функция

f’(x)

x0

f’(x0)

f’(x0)=k=tgα

f(x)=5x2+7x+2

1

3

2

27

f’(x0) =27

Найдите угловой коэффициент касательной к графику первообразной функции F(x) функции f(x) = … в точке абсциссой …

Что известно по условию задачи?
Как задана функция?
Что еще известно?
Что нужно найти?
Как находят тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику заданной функции в заданной точке?

у = 5x3+4x+1 проведена касательная к нему, параллельная прямой

Обоснуйте следующий план решения задачи: к =4; f’(x); f’(x0) = 4; х0 из уравнения; ответ на вопрос задачи.

ЗАДАНИЕ 3

Ответьте на вопросы анализа условия задачи на физический смысл производной: точка движется по координатной прямой по закону s(t) = t3/3 – 2t2+3t -15 (s- расстояние в см, t – время в секундах, прошедшее с момента движения). Определите скорость и ускорение точки через 3 с после начала движения.

Закон движения

S(t)

t0

V(t0) = S’(t0)

a(t0) = v’ (t0)

Что известно из условия задачи?
Как задана функция?
Что ещё известно?
Что нужно найти?

Что известно по условию задачи?(функция)
Как задана функция?(формулой)
Что еще известно?(х0)
Что нужно найти?( к, tgα)
Как находят тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику заданной функции в заданной точке?

можно найти по графику функции и касательной к этому

tgα – тангенс угла наклона касательной с положительным направлением оси Ох

Угловой коэффициент касательной к графику функции k

Коэффициент k в уравнении касательной вида у = kx +b

Способы вычисления угла наклона касательной к графику функции по графику касательной

направлением оси Ох
1.Прямоугольный треугольник
А). Если угол наклона касательной к

tg( 1800 – α) = - tgα

Коэффициент k в уравнении касательной вида у = kx +b

Координаты двух любых «удобных» точек.
Подставляя координаты выбранных точек в уравнение вида
у = kx +b,составляют систему и из неё находят k.

рис. 36 представлен график движения тела, и касательная к

Решите задачу 2-м способом и сравните свои решения.

Вывод: ϑ(t) = k
По виду угла наклона касательной определим знак k.
Выделим «удобный» прямоугольный треугольник. Из него найдем тангенс острого угла ( Помним! tg(1800-α) = - tgα).
Найдем тангенс острого угла как отношение противолежащего катета к прилежащему.
Ответим на вопрос задачи.

умения.
Что можно найти, зная график производной?
Что можно найти, зная

Задание 5

Функция f(x)определена на промежутке (-3;5). На рис.изображен график ее производной. Найдите угол наклона касательной, проведенной к графику функции y = f(x), к положительному направлению оси Ох в точке с абсциссой х0=2. Ответ укажите в градусах.

(-3;5)

График

2

tgα =1

tgα =1 ⇒ α = 450

?

1

ее производной. Найдите угол наклона касательной, проведенной к графику

Сравните условие рассмотренной задачи с условием следующей задачи:
Функция у = f(x) определена на промежутке (-5;5). На рис.изображен график ее производной. К графику функции у =f(x) провели касательные во всех точках, абсциссы которых –положительные целые числа. Укажите количество точек графика функции, в которых проведенные касательные имеют отрицательный угловой коэффициент.

На рис.изображен график ее производной. К графику функции у

План решения.
1. Из D(f) =(-5;5) выбрать положительные целые абсциссы.
2. По графику определить знак производной в этих точках.
3. Ответить на вопрос задачи.

На рис.изображен график ее производной. Укажите количество точек графика

α =1500, tg α < 0, k<0, f’(x0)<0. Чтобы ответить на вопрос задачи …

α =500

Используем метод оценки: tg 450< tg500 < tg 600, 1

α ∈ (0;π/2),если cosα =5/13

Найти значение тангенса угла по значению косинуса угла