Презентация на тему Производные 10 класс алгебра

множестве ХC D(f), если для любых двух точек х1

и х2 множества Х, таких, что х1<х2 ,………..
Б) если в некоторой точке графика функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция ………………….
В) если к графику функции y=f(х) в точке с абсциссой х=a можно провести касательную, непараллельную оси у, то f ‘(а) выражает ………………………
Г) если касательная к графику функции y=f(х) в точке х =а образует с положительным направлением оси Х острый угол, то производная в этой точке……………………….

функции у=f(х), если для всех х≠х0 выполняется неравенство f(х)

Точку х0 называют точкой максимума функции у=f(х), если для всех х≠х0 выполняется неравенство f(х)≤f(х0).
В) Точку х0 называют точкой максимума функции у=f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой, таких, что х≠х0 , выполняется неравенство f(х)

точках.
0
В
А
С
Е
F
G
H
К
Х

D(f), если для любых двух точек х1 и х2

множества Х, таких, что х1<х2 , выполняется неравенство f(х1) Б) если в некоторой точке графика функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема.
В) если к графику функции y=f(х) в точке с абсциссой х=a можно провести касательную, непараллельную оси у, то f ‘(a) выражает угловой коэффициент касательной.
Г) если касательная к графику функции y=f(х) в точке х =а образует с положительным направлением оси Х острый угол, то производная в этой точке положительна.

функции у=f(х), если у этой точки существует окрестность, для

всех точек которой, таких, что х≠х0 , выполняется неравенство f(х)

у

х

0

a

b

В, D, Н; положительна в точках С, G; отрицательна

в точках А, Е и не существует в точках F,K.

А

В

С

D

Е

F

G

H

K

X

Y

0

между свойствами функции и ее производной. Но какая –

предстоит найти. Итак, …

х = а и х = b.
Являются ли точки

с абсциссами а и b экстремумами данных функций?
Как ведут себя касательные к графикам этих функций в указанных точках?
Найдите, если возможно, значения производных этих функций в данных точках.
Сделайте вывод о необходимом условии существования экстремума функции в точке.

х=х0 , то в этой точке производная функции либо

равна нулю, либо не существует.

у

х2

х1

х3

х

0

функции, в которых производная равна нулю.
Критическая точка – внутренняя

точка области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует.

х3 - 3х + 1 может иметь экстремумы.


Решение:
f ‘(x)=3x2

- 3.
f ‘(x) существует при всех значениях аргумента.
f ‘(x)=0 при х=1 и х=-1. Эти точки могут быть точками экстремума.

ли указанное условие достаточным для существования экстремума в данной

точке?

А

В

а

b

0

а- стационарная точка

b – критическая точка

функции меняется
Вопрос: как связаны монотонность функции и производная?

производной и характером монотонности функции на промежутке [a;b]. Сформулируйте

выводы.

у

у

х

х

0

0

У=f(х)

У=g(х)

х1

х2

х1

х2

a

b

a

b

Рис.1

Рис. 2

y=f(x) непрерывна на промежутке Х и ее производная положительна

(соответственно отрицательна) во внутренних точках этого промежутка, то функция y=f(x) возрастает (соответственно убывает) на Х.

на промежутке Х и ее производная положительна (соответственно отрицательна)

во внутренних точках этого промежутка, то функция y=f(x) возрастает (соответственно убывает) на Х.

Теорема.
Если функция y=f(x) непрерывна на промежутке Х и ее производная неотрицательна (соответственно неположительна) во внутренних точках этого промежутка и равна нулю лишь в конечном множестве точек, то функция y=f(x) возрастает (соответственно убывает) на Х.

точкой экстремума функции, достаточно, чтобы: ………( ваше мнение?)

промежутке Х и имеет внутри промежутка стационарную или критическую

точку х = х0. Тогда:
а) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при xx0 - неравенство
f ‘(x)>0, то х=х0 – точка минимума функции у=f(x);
б) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x0, а при x>x0 - неравенство
f ‘(x)<0, то х=х0 – точка максимума функции у=f(x);
в) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней слева и справа от точки х=х0 знаки производной одинаковы, то в точке х0 экстремума нет.

Продумайте формулировку «рабочего» правила!

'(х) ( график производной функции у=f(х)). Укажите:
Промежутки монотонности функции

у=f(х);
Точки, в которых касательная к графику функции у=f(х) параллельна оси абсцисс;
Стационарные и критические точки;
Точки минимума и максимума.

х0

х1

х2

0

у

х

х3

х4

У=f '(х)

х5

в которых касательная к графику функции у=f(х) параллельна оси

абсцисс: х0, х2, х4.
Стационарные точки: х0, х2, х4. Критическая точка: х5;
Точка минимума- х0, максимума – х4.

х0

х1

х2

0

у

х

х3

х4

У=f '(х)

х5