Презентация на тему Различные подходы к построению теории действительных чисел

действительных чисел, свойства действительных чисел и ту роль, которую

они сыграли в развитии математики.
Задачи:
Проанализировать построение множества действительных чисел в историческом аспекте.
Рассмотреть подходы к построению теории действительных чисел по Кантору, Вейерштрассу, Дедекинду.
Выделить подходы к построению действительных чисел в школьном курсе математике.

"Всё есть число" Пифагор



"Мы никогда не стали бы
разумными,
если бы исключили число из
человеческой природы"
Платон

Филипп Кантор- немецкий математик (3 марта 1845, Санкт-Петербург —

6 января 1918, Галле (Заале))
Его научная деятельность:
Диссертация 1867 г. «О неопределенных уравнениях второй степени»
Работа «О преобразовании тернарных квадратичных форм»
В 1895—1897г издана работа «К обоснованию учения о трансфинитных множествах»
Занимался математикой , философией, теорией множеств.
Ввел понятие взаимно-однозначного соответствия между элементами множеств, дал определения бесконечного и вполне-упорядоченного множеств и доказал, что действительных чисел «больше», чем натуральных, ввел понятие кардинальных и порядковых чисел и их арифметику, рассмотрел теорию о трансфинитных числах

в построении теории вещественного числа заключается в том, что

он рассматривает всякую последовательность рациональных чисел , удовлетворяющую условию Коши как определяющую некоторое вещественное число.

Две фундаментальные последовательности {an} и {bn} могут определять одно и то же вещественное число. Это имеет место при условии

Таким образом, на множестве всех фундаментальных последовательностей рациональных чисел устанавливается отношение эквивалентности, и в соответствии с общим принципом все фундаментальные последовательности разбиваются на классы эквивалентности. Смысл этого разбиения таков, что последовательности из одного класса определяют одно и то же вещественное число, а последовательности из разных — разные. Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между вещественными числами, и классам фундаментальных последовательностей рациональных чисел.

чисел Кантора.
Вещественное число есть класс эквивалентности фундаментальных последовательностей рациональных

чисел.

Из определения вытекает, что всякая фундаментальная последовательность рациональных чисел сходится к некоторому вещественному числу. Этот принцип лежал в основе определения вещественного числа.
множество вещественных чисел содержит пределы всех фундаментальных последовательностей своих элементов. Это свойство множества вещественных чисел называется полнотой.

Ве́йерштрасс
(31 октября 1815 — 19 февраля 1897) —

выдающийся немецкий математик, «отец современного анализа».
Исследования Вейерштрасса существенно обогатили математический анализ, теорию специальных функций, вариационное исчисление, дифференциальную геометрию и линейную алгебру.
Он сформулировал логическое обоснование анализа на основе построенной им теории действительных (вещественных) чисел и так называемого ε-δ-языкаон строго определил на этом языке понятие непрерывности.
он дал строгое доказательство основных свойств непрерывных функций.предела, сходимости ряда и равномерной сходимости функций.

используется предположение , что всякая десятичная дробь является разложением

некоторого, рационального или иррационального, вещественного числа α:

Действительным числом называется десятичный ряд вида :

где а0-любое целое число, а числитель аi-целые числа, ограниченные соотношением т. е использоваться могут все цифры, причем исключено повторение 0 бесконечное множество раз.

два множества R1 и R2 рациональных чисел, обладающих двумя

свойствами:
Каждое число множества R1 не больше каждого числа множества R2
Для любого данного положительного действительного числа найдутся числа q в множестве R2 и p в множестве R1 такие, что то можно сконструировать действительное число А и притом единственное, которое не меньше каждого числа множества R1 и не больше каждого числа множества R2

Дедеки́нд (6 октября 1831 — 12 февраля 1916) —

немецкий математик.
В 1852 году Дедекинд получает докторскую степень за работу над диссертацией по теории интегралов Эйлера.
Ввел в математику в самом общем виде теоретико-множественное понятие отображения.
В 1872 году выходит его первая работа
« Непрерывность и иррациональность».
В 1887 выходит вторая работа «Что такое числа и для чего они служат?».

чисел называется разбиение всего множества рациональных чисел на два

непустых подмножества так, что
каждое число, вошедшее в первое подмножество, меньше каждого числа, вошедшего во второе подмножество.
каждое рациональное число должно входить в одно из этих двух подмножеств.
Рассмотрим три вида сечений Дедекинда.
Первый вид, когда в первом подмножестве есть наибольшее число, а во втором нет наименьшего числа, что будем передавать в виде ( R1;R2 )= , где - есть последнее в подмножестве R1.

наибольшего числа, а во втором есть наименьшее число (

R1;R2 )=r , где r- наименьшее из R2
Третий вид сечения: когда в первом подмножестве нет наибольшего числа, а во втором подмножестве нет наименьшего числа.
Действительным числом называется любое из трех видов сечений Дедекинда в поле рациональных чисел.
Иррациональном числом называется действительное число, определяемое сечением Дедекинда в поле рациональных чисел только третьего вида.