Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.

Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация на тему Решение уравнений

Содержание

Методы решения уравнений прямые; итерационныеПрямые методы: Позволяют найти решение непосредственно с помощью формул. Обеспечивают точное (без погрешностей метода) решение.Итерационные методы:Процедура решения задается в виде многократного применения некоторого алгоритма.Полученное решение всегда является приближенным.Пример.решение
4. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙВыбор метода и алгоритма решения уравнений зависит от их типа.4.1. Предварительные сведенияКлассификация уравненийтривиальноДревняя задача. Методы решения уравнений прямые; итерационныеПрямые методы: Позволяют найти решение непосредственно с помощью Решить уравнениеfx()0 , ( 1 )с неизвестным x Локализация корнейПервые два этапа удобно проводить графически. нелинейные уравненияалгебраические уравненияВ математике хорошо изучено. Оно имеет n корней, включая кратные итерационные методы решенияРешение нелинейных уравнений, как правило, проводитсяитерационными методами. MathCADитерацииитерационный методТретий этап:Проводится Если в ходе итераций получаются все более точные значения корня, то говорят, метод половинного деления (бисекция)Рассмотрим некоторое уравнение1 шаг. Находим некоторый отрезок [ xo, метод Ньютона – Рафсона(метод касательной)Задается некоторое начальное приближение xo и находится соответствующее решение уравнений в MathCADАлгебраические уравнения. Если задан полином n степени, то для Уравнения любого типа. Решение одного уравнения любого типа дается стандартной функцией root(), 4.3. Решение систем линейных уравненийЧасто встречается на практике: системы из десятков и геометрическая интерпретацияВ случае системы 2-х уравнений – простая геометрическая трактовка.прямая прямая решение Метод исключения ГауссаПрямой метод. Широко используется на практике для решения линейных систем. Итерационный метод Гаусса - ЗейделяПокажем на примере:Итерационная формула Гаусса-ЗейделязадаемКонецитерациям, еслипреобразуем решение систем линейных уравнений в MathCADЕсли система уравнений записана в матричной форме 4.4. Решение систем нелинейных уравненийВ общем случае прямых методов нет. Только итерационные Решение системы нелинейных уравнений в MCПроводится с помощью специального вычислительного блока, который Задача №4. Решить систему уравнений Решение:Геометрическая интерпретация. Два корня.2. Решение в MathCAD R=3корниDemo MathCAD(системы уравнений)
Слайды презентации

Слайд 2 Методы решения уравнений
прямые;
итерационные
Прямые методы:

Позволяют найти

Методы решения уравнений прямые; итерационныеПрямые методы: Позволяют найти решение непосредственно с

решение непосредственно с помощью формул.

Обеспечивают точное
(без погрешностей

метода) решение.

Итерационные методы:

Процедура решения задается в виде многократного применения некоторого алгоритма.

Полученное решение всегда является приближенным.

Пример.

решение

Слайд 3 Решить уравнение
f
x
(
)
0

,

(

Решить уравнениеfx()0 , ( 1 )с неизвестным x -

1 )
с неизвестным x - значит найти такие значения

x, которые удовлетворяют
этому уравнению. Эти значения называются корнями уравнения.


Корни могут быть действительными или комплексными.

Решение можно проверить подстановкой.

Функция f(x) предполагается непрерывной или дифференцируемой.

Решение задачи (1) обычно выполняется в несколько этапов:

4.2. Решение одного уравнения

Слайд 4 Локализация корней
Первые два этапа удобно проводить графически.

Локализация корнейПервые два этапа удобно проводить графически.

Например, рассмотрим

уравнение

Корней много: 3+?

Видим, что есть 5 вещественных корней.
Приблизительные значения:
x1= -10
x2= - 9
x3= - 5
x4= - 0.5
x5= 0

Эти значения – начальные приближения
для итерационных методов.

?

увеличиваем –
видим еще 2 корня

график

Слайд 5 нелинейные уравнения
алгебраические уравнения
В математике хорошо изучено.
Оно имеет

нелинейные уравненияалгебраические уравненияВ математике хорошо изучено. Оно имеет n корней, включая

n корней, включая кратные и комплексные.
Например:
трансцендентные уравнения
Это уравнения, в

которых неизвестное входит в аргумент трансцендентных функций.

Нет общей теории.
Обычно заранее неизвестно, есть ли решение и сколько корней.

Например:

Слайд 6 итерационные методы решения
Решение нелинейных уравнений, как правило, проводится
итерационными

итерационные методы решенияРешение нелинейных уравнений, как правило, проводитсяитерационными методами. MathCADитерацииитерационный методТретий

методами.
MathCAD
итерации
итерационный метод
Третий этап:
Проводится численно. Обычно задается некоторое

грубое начальное приближение корня, которое шаг за шагом уточняется соответствующим итерационным методом.

Каждый такой шаг называется итерацией.

Слайд 7 Если в ходе итераций получаются все более точные

Если в ходе итераций получаются все более точные значения корня, то

значения корня,
то говорят, что метод сходится.

Если итерационный метод

не сходится, то это может быть вызвано
следующими причинами:

отсутствием решения;
выбором неудачного начального приближения;
непригодностью используемого метода к
решению данной задачи.

Сходимость
итерационного метода

сходимость обычно
проверяют условием

Итерационных методов много.
Мы рассмотрим:
метод бисекции (деления пополам);
метод Ньютона-Рафсона.

Слайд 8 метод половинного деления
(бисекция)
Рассмотрим некоторое уравнение

1 шаг. Находим

метод половинного деления (бисекция)Рассмотрим некоторое уравнение1 шаг. Находим некоторый отрезок [

некоторый отрезок [ xo, x1 ], на котором функция

f(x) меняет знак, т.е.


2шаг. Делим отрезок [ xo, x1 ] пополам, находим его середину

Из двух половинок выбираем ту, в которой функция меняет знак,

3 шаг. Повторяем предыдущий шаг для нового отрезка.

Когда остановить итерации?

Если требуется найти корень с точностью , то итерации
продолжаются до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше

достоинства метода

недостатки метода

всегда сходится;
не требует гладкости функции;

медленная сходимость;
не распространяется на системы уравнений;

Слайд 9 метод Ньютона – Рафсона
(метод касательной)
Задается некоторое начальное приближение

метод Ньютона – Рафсона(метод касательной)Задается некоторое начальное приближение xo и находится

xo и находится соответствующее значение f(x0) – точка 0;
Из

точки О проводится касательная к функции и находится следующая точка – x1;
Для точки x1 получаем f(x1) – точку 1. Из нее снова проводим касательную и т.д.

точка 0

точка 1

достоинства метода

недостатки метода

быстрая сходимость;
распространяется на системы уравнений;
можно находить комплексные корни.

требует гладкости функции;
не всегда сходится (требует хорошего начального приближения);

Слайд 10 решение уравнений в MathCAD
Алгебраические уравнения. Если задан полином

решение уравнений в MathCADАлгебраические уравнения. Если задан полином n степени, то

n степени,


то для нахождения его корней (включая комплексные)

можно использовать стандартную функцию , которая возвращает вектор решений данного полинома.

(в обратном порядке)

Используем функцию polyroots

решение – вектор из 3-х корней

Проверка:

ненулевые значения получаются из-за приближенности решения

Demo MathCAD
(одно уравнение)

Слайд 11 Уравнения любого типа. Решение одного уравнения любого типа

Уравнения любого типа. Решение одного уравнения любого типа дается стандартной функцией

дается стандартной функцией root(), которая имеет 2 формы:
задается начальное

приближение x и получаем решение.

задается интервал [ a, b ], на котором ищется решение. При этом должны выполняться условия: 1) b>a;
2) f(a) f(b) <0.
Начальное приближение для x не требуется.

Задача №2. Найти корни трансцендентного уравнения

увеличено

начальное
приближение

решение

?

Demo MathCAD
(одно уравнение)

Слайд 12 4.3. Решение систем линейных уравнений
Часто встречается на практике:

4.3. Решение систем линейных уравненийЧасто встречается на практике: системы из десятков


системы из десятков и сотен уравнений.
Система n уравнений

с n неизвестными:

решения нет

решение единственно

не рассматриваем

Слайд 13 геометрическая интерпретация
В случае системы 2-х уравнений – простая

геометрическая интерпретацияВ случае системы 2-х уравнений – простая геометрическая трактовка.прямая прямая

геометрическая трактовка.
прямая
прямая
решение – точка пересечения прямых
матрица

A
плохо обусловлена

Слайд 14 Метод исключения Гаусса
Прямой метод. Широко используется на практике

Метод исключения ГауссаПрямой метод. Широко используется на практике для решения линейных

для решения линейных систем.

(умножением строк на константу и

вычитанием строк друг из друга матрица приводится к специальному
3-угольному виду – это прямой ход метода Гаусса)

Идею метода покажем на примере системы уравнений 4-ой степени.

Для нее можно записать соответствующую матрицу коэффициентов:

прямой ход

Далее последовательно находим остальные корни .

обратный ход

Слайд 15 Итерационный метод Гаусса - Зейделя
Покажем на примере:
Итерационная формула

Итерационный метод Гаусса - ЗейделяПокажем на примере:Итерационная формула Гаусса-ЗейделязадаемКонецитерациям, еслипреобразуем


Гаусса-Зейделя
задаем
Конец
итерациям, если
преобразуем

Слайд 16 решение систем линейных уравнений
в MathCAD
Если система уравнений

решение систем линейных уравнений в MathCADЕсли система уравнений записана в матричной

записана в матричной форме ,
то можно

использовать стандартную функцию lsolve(A,B), которая возвращает вектор решений.

Задача №3. Решить систему уравнений
Решение:

1. Определяем матрицу A и вектор B

2. Проверяем матрицу A на вырожденность

3. Решаем

4. Проверка

Demo MathCAD
(системы уравнений)

Слайд 17 4.4. Решение систем нелинейных уравнений
В общем случае прямых

4.4. Решение систем нелинейных уравненийВ общем случае прямых методов нет. Только

методов нет. Только итерационные методы. Рассмотрим, например, метод простой

итерации.

Проблемы
1) Если начальные приближения сильно отличаются от решения,
то может не сходиться;
2) Особенно для больших систем;
3) Если сходимости нет, то можно изменить форму итерационных уравнений.

Система n нелинейных уравнений с n неизвестными

Преобразуем к
форме типа

задаем начальное
приближение

1-ая итерация

2-ая итерация

Слайд 18 Решение системы нелинейных уравнений в MC
Проводится с помощью

Решение системы нелинейных уравнений в MCПроводится с помощью специального вычислительного блока,

специального вычислительного блока, который имеет
следующую структуру:
При записи

уравнений и
ограничений –
булевы операторы!
  • Имя файла: reshenie-uravneniy.pptx
  • Количество просмотров: 128
  • Количество скачиваний: 0
- Предыдущая Сергей Михалков
Следующая - Внутриличностные конфликты

Похожие презентации

Интерактивный плакат по теме Обыкновенные дроби 5 класс Интерактивный плакат по теме Обыкновенные дроби 5 класс 221
Повторение: Линейные уравнения и системы Повторение: Линейные уравнения и системы 114
Великие математики Великие математики 98
Лента Мёбиуса Лента Мёбиуса 111
Оригами как метод ознакомления детей с формой предметов. презентация по математике Оригами как метод ознакомления детей с формой предметов. презентация по математике 126
Решение простейших тригонометрических неравенств Решение простейших тригонометрических неравенств 121
Решение уравнений Решение уравнений 131
Статистические характеристики интервального ряда Статистические характеристики интервального ряда 119
Площади параллелограмма, треугольника, трапеции Площади параллелограмма, треугольника, трапеции 127
Степень числа. Квадрат и куб числа Степень числа. Квадрат и куб числа 136
Методика ориентировки на листе бумаги учебно-методический материал по математике (средняя группа) по теме Методика ориентировки на листе бумаги учебно-методический материал по математике (средняя группа) по теме 137
Презентация по математике Проценты Презентация по математике Проценты 131
презентация : Путешествие в космос презентация к уроку по математике (3 класс) по теме презентация : Путешествие в космос презентация к уроку по математике (3 класс) по теме 110
Задачи на Построение сечений куба Задачи на Построение сечений куба 115
Величины. Объём Величины. Объём 143
Подобные слагаемые Подобные слагаемые 141
Женщины-математики (7 класс) Женщины-математики (7 класс) 129
Математический диктант (3 класс) Математический диктант (3 класс) 132
Умножение двузначного числа на однозначное Умножение двузначного числа на однозначное 102
Сложение числа 5 с однозначными числами презентация к уроку по математике (1 класс) по теме Сложение числа 5 с однозначными числами презентация к уроку по математике (1 класс) по теме 142
Презентация по математике- Казань в математических задачах (5 класс) Презентация по математике- Казань в математических задачах (5 класс) 147
все о призме все о призме 100
Презентация по математике Числа 10,20,30,..., 100 2 класс В.Н. Рудницкая Начальная школа XXI века презентация к уроку по математике (2 класс) Презентация по математике Числа 10,20,30,..., 100 2 класс В.Н. Рудницкая Начальная школа XXI века презентация к уроку по математике (2 класс) 60
Проблемно- диалоговое обучение на уроке математики. материал по теме Проблемно- диалоговое обучение на уроке математики. материал по теме 132
Система работы с учащимися, проявляющими интерес к математике Система работы с учащимися, проявляющими интерес к математике 121
Методическая разработка урока по ФЭМП с логическими кубиками Дьенеша. Мальвина и Буратино методическая разработка по математике (старшая группа) Методическая разработка урока по ФЭМП с логическими кубиками Дьенеша. Мальвина и Буратино методическая разработка по математике (старшая группа) 140
Математический кроссворд-4 по теме Табличное умножение и деление чисел Математический кроссворд-4 по теме Табличное умножение и деление чисел 162
Задачи Да-нет-ки презентация к уроку по математике (3 класс) Задачи Да-нет-ки презентация к уроку по математике (3 класс) 120
Интерактивный тренажёр Пятачок спешит на помощь по теме Состав числа 10 Интерактивный тренажёр Пятачок спешит на помощь по теме Состав числа 10 97
История чисел и системы счисления История чисел и системы счисления 127