Слайд 2
Симплекс-метод с естественным базисом
Симплекс
–метод основан на переходе от одного опорного плана к
другому, при котором значение целевой функции возрастает при условии, что задача имеет оптимальный план и каждый опорный план является невырожденным.
Этот переход возможен, если известен какой-либо опорный план.
Слайд 3
В этом случае каноническая задача
линейного программирования должна содержать единичную подматрицу порядка m
Тогда очевиден первоначальный опорный план( неотрицательное базисное решение системы ограничений КЗЛП).
Слайд 4
Рассмотрим задачу, для которой это возможно.
Пусть требуется найти максимальное значение функции
при
условиях
Здесь -заданные постоянные числа, причем
Слайд 5
Перепишем ЗЛП в векторной форме: найти
максимум функции
при условиях
Здесь
,
то по определению опорного плана
,
где последние компоненты вектора равны нулю, является опорным планом
Опорный план называется невырожденным, если он содержит m положительных компонент. В противном случае он называется вырожденным.
Слайд 7
План, при котором
целевая функция ЗЛП принимает свое максимальное
(минимальное
) значение , называется оптимальным
Этот план определяется системой единичных векторов , которые образуют базис m-векторного пространства.
Проверка на оптимальность опорного плана происходит с помощью критерия оптимальности.
Слайд 8
Признак оптимальности.
1)Опорный план ЗЛП является оптимальным,
если
для любого
.
Слайд 9
2)Если для некоторого j=k
и среди чисел
нет
положительных, т.е. , то целевая функция ЗЛП не ограничена на множестве ее планов, т.е. ЗЛП не имеет решения, так как нет конечного оптимума.
Слайд 10
3)Если же для некоторого k выполняется
условие , но
среди чисел есть положительные, т.е. не все , то можно получить новый опорный план, для которого значения целевой функции
.
На основании признака оптимальности делаем вывод о целесообразности перехода к новому опорному плану.
Слайд 12
Симплекс-таблица
В столбце Сб записывают коэффициенты при
неизвестных целевой функции, имеющие те же индексы, что и
векторы данного базиса.
В столбце -положительные компоненты исходного опорного плана, в нем же в результате вычислений получают положительные компоненты оптимального плана.
Первые m строк заполняют по исходным данным задачи, а показатели (m+1)-й строки вычисляют. В этой строке в столбце вектора записывают значение целевой функции, которое она принимает при данном опорном плане, а в столбце вектора - значение
,
т.е.
Значение
После заполнения таблицы исходный опорный план проверяют на оптимальность. Для этого просматривают элементы (m+1)-й строки. Может иметь место один из 3-х случаев.
Тогда составленный план оптимален.
2) для некоторого j и все соответствующие этому j . Тогда целевая функция неограничена.
3) для некоторых индексов j и для каждого такого j по крайней мере одно из чисел положительно. Здесь можно перейти к новому опорному плану.
Слайд 15
Этот переход осуществляется исключением из базиса
какого-нибудь из векторов и включением в него другого.
В базис вводим вектор , давший минимальную отрицательную величину симплекс-разности
Слайд 16
Из базиса выводится вектор
, который дает наименьшее положительное оценочное отношение
для всех , т.е. минимум достигается при i=r.
Число называется разрешающим элементом.
Слайд 17
Строка называется разрешающей строкой,
элементы этой строки в новой симплекс-таблице вычисляются по методу
Жордана-Гаусса, т.е. по формулам:
Слайд 18
Элементы i-й строки –по формулам
Слайд 19
Значение нового опорного плана считают по
формулам
Значение целевой функции при переходе от одного
опорного плана к другому , улучшенному, изменяется по формуле
Слайд 20
Процесс решения продолжаем до
получения оптимального плана либо до установления неограниченности ЦФ.
Если среди оценок оптимального плана нулевые только оценки , соответствующие базисным векторам, то оптимальный план единствен.
Если же нулевая оценка соответствует вектору, не входящему в базис, то в общем случае это означает, что опорный план не единствен.
Слайд 21
Алгоритм применения симплекс-метода
1)Находят опорный план.
2)Составляют симплекс-таблицу.
3)Выясняют, имеется ли хотя бы одна
отрицательная оценка. Если нет, то найденный опорный план оптимален. Если же есть отрицательные оценки, то либо устанавливают неразрешимость задачи, либо переходят к новому опорному плану.
Слайд 22
4)Находят направляющие столбец и строку. Направляющий
столбец определяется наибольшим по абсолютной величине отрицательным числом
, а направляющая строка—минимальным числом Q.
5)Определяют положительные компоненты нового опорного плана. Составляется новая таблица.
6)Проверяют найденный опорный план на оптимальность.
Слайд 23
Пример.
Решить симплекс-методом ЗЛП
Слайд 24
Решение.
Приведем задачу к каноническому виду,
введя новые переменные
В целевую функцию эти
переменные войдут с нулевыми коэффициентами:
Слайд 25
Из коэффициентов при неизвестных и свободных
членов составим векторы
Единичные векторы образуют единичную подматрицу
и составляют базис первоначального плана. Свободные неизвестные приравниваются к нулю.
Получаем первоначальный опорный план:
Х= (0;0;350;240;150).
Слайд 26
Составим симплекс-таблицу и проверим план на
оптимальность. В нашем примере
Для заполнения последней строки таблицы сразу вычислим симплекс-разности
Для этого поочередно умножаем столбец Сб на соответствующие элементы каждого столбца
Слайд 27
Составим теперь нулевую симплексную таблицу
Слайд 29
Определяем разрешающий элемент симплексной таблицы. Т.к.
имеется 2 отрицательные оценки, то выбираем ту, что дает
максимальную по абсолютной величине отрицательную оценку, т. е. -20.
Это означает, что в базис включается
вектор , а исключается из базиса тот вектор, которому соответствует
.
Слайд 30
Разрешающим элементом
является
.
Значение целевой функции в следующей симплекс-таблице будет равно:
Слайд 31
Элементы направляющей строки в новой таблице
вычисляем, деля эту строку на ведущий элемент(в том числе
и клетку в столбце план):
Слайд 32
Можно рассчитывать элементы строк методом Жордана-Гаусса,
домножая 1-ю строку на (-0,5) и прибавляя ее ко
2-й, а затем на(-1) и прибавляя к 3-й, обнулив таким образом элементы 2-го выделенного (разрешающего) столбца, или по формулам треугольника
Слайд 33
Элементы 2-ой строки получаем по методу
Жордана-Гаусса (или по формулам треугольника)
Слайд 34
Аналогично рассчитываем элементы 3-й строки.
Значения нового опорного плана рассчитываем по формулам:
После
чего заполняем таблицу 1.
Слайд 36
Проверим план на оптимальность.
Вычислим симплекс-разности.
Слайд 37
В первом столбце матрицы имеется отрицательная
оценка. План не оптимален, но его можно улучшить ,
включив в базис вектор . Найдем минимальное оценочное отношение:
Слайд 38
Выводится из базиса вектор
, которому соответствует минимальное оценочное отношение 70. Переходим
к следующему опорному плану. Вводим в базис вектор , делим разрешающую строку на разрешающий элемент и заполняем 3-ю строку таблицы 2. После чего методом Жордана-Гаусса домножаем эту строку на (-0,286) и прибавляем к первой, затем домножим эту строку на (-1,857) и прибавляем ко второй.
