Презентация на тему Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда

сходимости степенного ряда.
4. Равномерная сходимость функционального ряда.
5. Нахождение радиуса

сходимости ряда.
6. Список использованной литературы.

называется функциональный ряд вида:

где

постоянные вещественные числа,
называемые коэффициентами степенного ряда.

этой точке все члены ряда (1), кроме первого, -

нули. Есть степенные ряды вида (1), которые сходятся лишь в точке х=0; такие ряды относят к рядам первого класса.
Например, ряд

сходится лишь в точке х=0; в любой другой точке х≠0 этот ряд расходится. Действительно, при каждом х≠0 из числовой оси имеем числовой ряд. Исследуем его на сходимость. Образуем ряд

Применив к последнему ряду признак Даламбера, получим:

при всех х≠0. Следовательно, ряд (3), значит, и ряд (2) расходятся при всех х≠0.

получив формулу бинома для натурального показателя, Ньютон сразу же

приступил к выяснению того, действительна ли она для отрицательных и дробных показателей. В частности, он проверил ее для

показателей

В первом случае он пришел к ряду ,

во втором к ряду

Здесь, как при любом рациональном m, сумма биномиального ряда (при ) дает арифметическое значение радикала.

Получение биномиального ряда

имеем:



Этот ряд сходится при

( ). Однако, результаты Ньютона в этом, как и в других вопросах анализа, были, как известно, опубликованы намного позже их получения автором. Так называемый биномиальный ряд, связанный с именем Ньютона, имеет следующий

вид:


При этом m – любое, отличное от нуля вещественное число. Этот ряд
сходится при , т.е. при

Доказательство разложения для любого вещественного m , было дано Эйлером.

разложения в ряды, применявшихся Ньютоном, было обращение ряда; например,

исходя из логарифмического ряда



в котором x разложен по степеням y, он устанавливает обратное разложение y по степеням x , получая:




или ,

который представляет собой показательный ряд, он сходится для любого х.

на –х2 , найдем:

Этот ряд Ньютон проинтегрировал почленно, получив:


Ряд

сходится на отрезке

ряда существует такое число , что степенной ряд сходится

при
и расходится при
Таким образом, область сходимости степенного ряда есть круг с центром в точке а радиуса R, который называется кругом сходимости. Число R называется радиусом сходимости ряда.

на вопрос о сходимости степенного ряда
на границе круга

сходимости, то есть при

, дать нельзя.
В каждом конкретном случае этот вопрос надо рассматривать
отдельно.
Заметьте еще, что при R=0 степенной ряд сходится только в
точке z=a; при R=+∞ степенной ряд сходится.

– его радиус сходимости – находится одним из следующих

способов.
1. Если существует , то .

2. Если существует , то .

3. Пусть . Тогда .

его на концах интервала:
Решение.
Т.к. степенной ряд по теореме Абеля

сходится абсолютно в интервале сходимости, то рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда Это ряд положительный, поэтому мы можем для его исследования применить
признак Даламбера.

, .





Получили интервал сходимости данного ряда IxI<3 , -3

- 3 подставим в данный ряд, получим

. Полученный знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница.
Первое условие признака Лейбница выполняется, т.к.


Второе условие признака Лейбница также выполняется, т.к.

x= - 3 подставим в исходный ряд, получим

гармонический ряд, он расходится.



Следовательно, областью сходимости данного ряда является

промежуток .



Ответ: или

и механик, академик Петербургской Академии наук, автор огромного количества

научных открытий во всех областях математики.
Эйлер первым применил средства математического анализа в теории чисел, положил начало топологии.

Краткая историческая справка

окончил
Кембриджский Университет и собирался начать
работу там же,

в его родном Тринити-колледже.
Он открыл закон всемирного тяготения и
приступил с его помощью к исследованию планет.
Но чтобы исследовать и выражать законы физики, Ньютону приходилось заниматься и математикой. В Вулстропе Ньютон, решая задачи на проведение касательных к кривым, вычисляя площади криволинейных фигур, создает общий метод решения таких задач – метод флюксий (производных) и флюэнт, которые у Г.В. Лейбница назывались дифференциалами.
Ньютон так же находит формулу для различных степеней суммы двух чисел, причем не ограничивается натуральными показателями и приходит к суммам бесконечных рядов чисел. Ньютон показал, как применять ряды в математических исследованиях.
Работы Ньютона надолго опередили пути развития физики и математики. Закон всемирного тяготения постепенно осознавался как единый принцип, , позволяющий строить совершенную теорию движения небесных тел. Созданный им математический анализ открыл новую эпоху в математике.