Слайд 2
Результаты обучения. В результате изучения материала главы 12
учащийся должен:
знать определение математического ожидания конечной случайной величины,
понимать, что математическое ожидание является обобщением среднего арифметического значений величины;
знать свойства математического ожидания и уметь использовать их при решении простых задач;
знать, что важным свойством распределения случайной величины является рассеивание величины, уметь вычислять дисперсию и стандартное отклонение;
знать формулы математического ожидания и дисперсии числа успехов в серии испытаний Бернулли.
Слайд 3
П.53. Математическое ожидание случайной величины.
Для введения понятия «математическое
ожидание случайной величины» необходимо разобрать задачу п.53.
Для проведения
лотереи изготовили 100 билетов. Из них 1 билет с выигрышем в 500 р., 10 билетов с выигрышем по 100 р. и остальные 89 билетов без выигрыша. Какой средний выигрыш соответствует 1 билету?
Выигрыш является случайной величиной Х, которая может принимать значение 0;100; 500, с вероятностью 0,89; 0,1 и 0,01.
Если покупатель приобретает все 100 билетов, то выигрыш составит 1500 руб, следовательно выигрыш, соответствующий одному билету в 100 раз меньше. 15 руб. (0·89+10·100+1·500):100 = 0·0,89+100·0,1+500·0,01=15.
15 руб – это среднее значение случайной величины. Оно называется математическим ожиданием случайной величины.
Слайд 4
Рассмотрим случайную величину Х.Пусть распределение случайной величины Х
задано таблицей.
Обозначим математическое ожидание Е(Х).
Определение. Математическим ожиданием случайной величины
Х называют число
Е(Х)=х1р1+х2р2+х3р3+ … + хnрn
Е(а)=а·1. Математическое ожидание постоянной величины равняется этой величине.
Слайд 5
Задачи № 1. а),б),в).№2 решаются по формуле.
№3.
Е(Z)
= (-8-6-4-2+2+4+6+8)·1/8=0.
№4.Х- «число выпавших орлов»
Е(Х)= 0·0,5+1·0,5=0,5
Слайд 6
№5.Y – «сумма очков, выпавших при двух бросаниях
игральной кости»
Е(Y)=2·1/36+3·2/36+4·3/36+5·4/36+6·5/36+7·6/36+8·5/36+
9·4/36+10·3/36+11·2/36+12·1/36=7.
Вернуться к этой задаче в п.54, при
использовании свойств.
Слайд 7
Задача № 9.
Х – «число клеток в
подбитом корабле»
Е(Х)=0·0,8 +1·0,04 +2·0,06 +3·0,06+4·0,04 = 0,5.
Е(Х) = 0,5.
Слайд 8
Задача № 10.
а). Х – «наибольшее из двух
выпавших очков»
Слайд 9
№10 (б). Х – «наименьшее из двух выпавших
очков»
Слайд 10
П. 54. Свойства математического ожидания
Свойство1.Пусть Х – случайная
величина, а – некоторое число. Рассмотрим случайную величину Y=аХ.
Тогда Е(Y)=аЕ(Х).
Свойство 2. Пусть U и V – две случайные величины. Тогда U + V – также случайная величина, и при этом Е(U+V) = E(U)+E(V).
Это значит, что математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий.
Слайд 11
Задача № 1.
Х – «число очков, выпавших на
одной игральной кости»
Е(Х) = 3,5
Тогда при пяти бросаниях
математическое ожидание равно а).3,5·5 = 17,5
б).3,5·7 = 24,5
в).3,5·100 = 350
г).3,5·k = 3,5k
Задача № 2. Применение свойств.
Слайд 12
Задача № 3.
р=1/11. Е(Х) = 1/11·(-3-2-1+0+1+2+3+4+5+6+7)=2
р =
1/9. Е(Y)= 1/9·(1+2+3+4+5+6+7+8+9) = 5
a). Z=X+Y, E(Z) =
E(X)+E(Y) E(Z)= 2+5 = 7
б). Z=X-Y E(Z) = 2-5 = -3.
Слайд 13
Задача № 5.
Т.к. бросаний 5, то всего событий
32.
Х – «выпадение орлов»
Е(Х)=1/32·(0+ 1·5+2·10+3·10+4·5+5·1)= 80 · 1/32
= 2,5
Е(Х) = 2,5
Задача № 6 разбирается подробно в п.58.
Слайд 14
П.56- 57. Дисперсия и стандартное отклонение. Свойства дисперсии.
Дисперсия
- мера рассеивания.(п.55)
Дисперсией случайной величины Х называют математическое ожидание
случайной величины
(Х –Е(Х))².
D(X) = E((Х –Е(Х))²)
Стандартное отклонение σ = √D(X)
Свойства дисперсии. 1.Пусть Х – случайная величина. Рассмотрим случайную величину
Y = аХ, где а - некоторое число. Тогда D(Y) =a²D(X)
2. Пусть Х – случайная величина . Рассмотрим случайную величину Y = X + a. Тогда
D(Y) = D(X)
Слайд 15
Задача № 2.
Проводится одно испытание Бернулли, с вероятностью
успеха р. Случайная величина S – «число успехов». Найти
D(S).
Е(S) = р
D(X) = E((Х –Е(Х))²)
D(S) = р²(1- р)+(1- р)²р = р(1- р)(р + 1- р) = р(1- р) = р - р²
Слайд 16
Задача № 3.
D(X) = E((Х –Е(Х))²)
а).Е(Х) = -2·0,3+0·0,5+3·0,2=0
D(X)=4·0,3+0·0,5+9·0,2=1,2+1,8=3
б).
Аналогично.
Слайд 17
Задача №4.б). Вычислить дисперсию случайной величины Х.
D(X) = E((Х –Е(Х))²)
Е(Х) = 3
Е((Х-Е(Х))²) = 25·0,1+9·0,1+4·0,2+4·0,6= 6,6
D(X) = 6,6
Задачи № 5,6 решаются аналогично.
Слайд 18
Задача № 7.
а). Случайная величина Х принимает значения
от 0 до 6 с равными вероятностями, т.е. р
=1/7.
Найти D(X).
D(X) = E((Х –Е(Х))²)
Е(Х)=21·1/7 =3
Значения Х- Е(Х) от -3 до 3. Тогда D(Х)=4.
б). Случайная величина Y принимает значения от 1 до 7, т.е. Y = Х + 1. Следовательно, по свойству дисперсии D(Y) = D(X). Т.е. D(Y) = 4.
Слайд 19
Задача № 8. При решении используются свойства дисперсии.
a).
D(X) = 3, Y=3X, D(Y)= 9D(X), D(Y)=27
б).
Y=X+5. D(Y)=D(X) D(Y)=3.
е). Y=-5X-7. D(Y)= 25D(X)=75.
Остальные решаются аналогично.
Слайд 20
П. 58. Математическое ожидание числа успехов в серии
испытаний Бернулли
Если S – число успехов в серии n
независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха р, то Е(S) = np.
Слайд 21
Задача № 1.
2000 – окуней и 1000 –
карасей. Всего 3000 рыб.
Найти ожидаемое число карасей.
E(S)
= np
S = 0;1; 2;4; …;30 Е(S) = 30p
E(S) = 10
Слайд 22
Задача № 3.
n=120
а).S – «число очков кратно
3»
При бросании игральной кости с равной вероятностью 1/6 выпадают
1, 2, 3,4,5,6.
Успехов 2 (значения 3 и 6). Следовательно вероятность события Х при однократном бросании равна 1/3.
Т.е. Е(S) = 120∙1/3 = 40.
б). Аналогично.
Слайд 23
Задача № 4.
Вероятность успеха 0,25. Следовательно Е(S)=16·0.25=4. Т.е.
ожидаемое число правильных ответов 4.
Задача №5.
Математическое ожидание случайной величины
«число выпадений острием вверх» равно 135. n=300. Найти р.
Е(S) = np. р·300 = 135,
p = 0,45
Слайд 24
П. 59. Дисперсия числа успехов.
Дисперсия числа успехов S
в серии испытаний Бернулли вычисляется по формуле D(S) =
npq.
n – число испытаний Бернулли
р – вероятность успеха
q – вероятность неудачи
Слайд 25
Задача № 1.
n = 100 p =
0,36, следовательно q = 0,64.
D(S) = 0,36·0,64·100 = 23,04
σ
= √D(S) σ = √23,04 = 4,8
Задача № 2. а). Х – «выпавшее число очков кратно 3»
D(X) = 3000
Слайд 26
Задача № 3.
S – число попаданий серии выстрелов
по мишени.
р – вероятность попадания (вероятность успеха)
Найти дисперсию величины
S.
а). D(X) = npq. р=0,3, тогда вероятность неудачи равна 0,7. число выстрелов равно 100. Тогда дисперсия равна 21.
в). При 2500 выстрелах дисперсия равна 525.
