Презентация на тему по теме Замечательные свойства медианы и биссектрисы

и теоремы, связанные с ним, проходят красной линией по

всей геометрии, являются основой основ планиметрии и стереометрии. Поэтому я посчитала важным изучить теорию о треугольнике. Так же мне это пригодится при сдаче ГИА, а в дальнейшем и ЕГЭ.

Перед собой я поставила цель: Узнать новые свойства и теоремы, касающиеся треугольника, его элементов и укрепить свои прежние знания.

Задачи:
Узнать историю треугольника.
Повторить основные теоретические положения.
Дополнить свои знания новой информацией.

сторон. Существует раздел математики, целиком посвящённый изучению закономерностей треугольников —

тригонометрия. Для треугольника всегда существует одна вписанная и одна описанная окружность

Основные понятия.

Обозначения

Признаки равенства треугольников
Треугольник однозначно можно определить по следующим тройкам основных элементов:
a, b, γ (равенство по двум сторонам и углу лежащему между ними);
a, β, γ (равенство по стороне и двум прилежащим углам);
a, b, c (равенство по трём сторонам).
Признаки равенства прямоугольных треугольников:
по катету и гипотенузе;
по двум катетам;
по катету и острому углу;
по гипотенузе и острому углу.

называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны

(основанием медианы). Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения называется центроидом или центром тяжести треугольника.
Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называют отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне и делящий угол при данной вершине пополам. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром вписанной окружности (инцентром).

ВL2, СL3 треугольника ABC пересекаются в точке I, тогда
Докажем

равенство:

Доказательство:
AL1 ─ биссектриса ΔABC. Известно, что

Из того, что СI ─ биссектриса
Δ A L1 C, используя выражение для x , получим:

откуда

точкой I делятся в одном отношении, то треугольник АВС

равносторонний.

Решение.
По условию:

Следовательно,

Прибавляя к каждой дроби 1, получим

отсюда следует, что

. Значит, треугольник АВС ─ равносторонний.

можно найти по формуле
биссектриса угла В,
a, b, c

стороны треугольника АВС, , – отрезки на которые биссектриса

делит

противоположную сторону.

2) Длину биссектрисы треугольника можно найти, если знать стороны треугольника по формуле

βс =

3) Длину биссектрисы можно найти, зная две стороны треугольника и угол между ними по формуле

βс =

где a и b – стороны треугольника,
γ - угол между ними.

,где

- биссектриса угла В
Доказать:

Доказательство. Около треугольника АВС опишем окружность и продолжим биссектрису BD угла В до пересечения с окружностью в точке Е . Соединим точки Е и С. Положим

.

По свойству пересекающихся хорд имеем:

(а)

Рассмотрим треугольники ABD и EBC.

по условию.

как углы опирающиеся на одну и ту же дугу. Следовательно,

Из подобия треугольников имеем

(б).

Из условий (а) и (б) следует, что

. Что и требовалось доказать.

1)

a, b, с – стороны треугольника, βс - биссектриса угла С Доказать: βс =

Доказательство:
Запишем формулу

= ab – a1b1 в виде

= ab – a1(c – a1) . Используя теорему о том, что биссектриса делит

сторону треугольника на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам, получим

ac – aa1 = ba1;
ac = a1(b + a);

Отсюда находим

Тогда

βс =

. Что и требовалось доказать.

CC1 = βс – биссектриса

Доказать: βс =

3)

Доказательство:
Пусть СС1 = βс – биссектриса угла С треугольника ABC, BC = a, AC = b,

γ. Тогда

, или

, откуда βс =

. Что и требовалось доказать.

знать длины сторон треугольника, по следующей формуле

ma =
где a,

b, c – стороны треугольника.

Докажем справедливость этой формулы

Дано: ∆ ABC
AD – медиана.
Доказать: AD =

Доказательство:
Продолжим медиану AD на расстояние DE = AD и построим отрезки BE = EC. В полученном четырёхугольнике ABEC точка D – точка пересечения диагоналей, а так как она делит BC и AE пополам, то ABEC – параллелограмм (по признаку параллелограмма)
Теперь используем теорему о том, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

AE2 + BC2 = 2AC2 + 2AB2

(2AD)2 = 2AC2 + 2AB2 – BC2
4AD2 = 2AC2 + 2AB2 – BC2
AD =

Составим уравнение

Значит, данная формула справедлива. Что и требовалось доказать.

она заключена.
Пусть AB = c, AC =

b, BC = a, CM = mC.
Пусть F – точка пересечения прямой CM и прямой, проходящей через точку A параллельно прямой BC. Ясно, что

MAF =

MBC (по стороне

и двум прилежащим углам). Получили, что MF=MC = mC и AF = BC = a.

В ACF имеем:

CF

AC + AF (неравенство треугольника)

a + b;

Что и требовалось доказать.

2mC

mC

(a + b)/2

которых равны.
Доказательство:
AM=MC
BM – медиана;
ABC;
AM
BH;
MC
BH.
Проведем ВН – высоту
SABM=
SMBC=
Так как

AM=MC, поэтому

SABM = SMBC

Что и требовалось доказать.

и медиана СМ, они пересекаются в точке О. Найдите

отношение площадей АМОД и ∆АВС, если АВ=14, ВС=21.

Дано: ∆ АВС ВД – биссектриса СМ – медиана АВ=14, ВС=12.
Найти:

Решение:

Пусть

=S.

т.к СМ – медиана.

т.к. ВД – биссектриса.

значит

Ответ:

.

.

.

АD пересекает медиану BK в точке Е, при этом

BD:CD=3:2. Найдите площадь четырёхугольника EDCK. (Задача взята из КИМов под редакцией А.А. Семенов, И.В. Ященко; вариант 18 №26)

Дано: ∆ АВС AD – биссектриса ВК – медиана

BD:CD=3:2

Найти:

Решение:

т.к. ВК – медиана делит

на два равновеликих треугольника.

По свойству биссектрисы

т.к. ВК – медиана, то

имеют равный угол при вершине В, то

Ответ:

высота ВН пересекаются в точке О. Найти радиус описанной

вокруг треугольника АВС окружности, если известно, что ВС=4, а ВО:ОН=5:3. (Задача взята из КИМов под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухов; вариант 14 №26. 2014год)

Дано: ∆ АВС AL – биссектриса ВН – высота ВС=4, BО:ОН=5:3 Найти: R.

Решение:

Ответ: R=2,5.

пройденный мной в школьной программе, из дополнительных источников узнала

новые свойства и теоремы, касающиеся треугольника, рассмотрела интересные задачи с их применением. Всё это поможет мне при решении задач. Конечно, эти знания полезны и необходимы при сдаче экзамена.