Презентация на тему ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

убывание функций

Теорема (необходимые условия возрастания и убывания функции).
Если дифференцируемая

Геометрически теорема означает, что касательные к графику возрастающей дифференцируемой функции образуют острые углы с положительным направлением оси Ох или в некоторых точках параллельны оси Ох.

функция ƒ(х) дифференцируема на интервале (a;b) и ƒ'(х)>0 (ƒ'(х)

Примеры:

1)Исследовать функцию ƒ(х)=х3-3х-4 на возрастание и убывание;

2)Исследовать функцию ƒ(х)= x - lnx на возрастание и убывание;

максимума (минимума) называется экстремумом функции.

имеет экстремум в точке х0, то ее производная в

Геометрически равенство ƒ'(х0)=0 означает, что в точке экстремума дифференцируемой функции у=ƒ(х) касательная к ее графику параллельна оси Ох.

ЗАМЕЧАНИЯ

1)Обратная теорема неверна, т.е. если ƒ'(х0)=0, то это не значит, что х0- точка экстремума.

не имеет, но точка х=0 — точка минимума.
►Такие точки

Непрерывная функция может иметь экстремум лишь в точках, где производная функции равна нулю или не существует.

у=ƒ(х) дифференцируема в некоторой δ -окрестности критической точки х0

Графическая интерпретация доказательства теоремы

у=ƒ(х) называется выпуклым вниз на интервале (а;b), если он

►График функции у=ƒ(х) называется выпуклым вверх на интервале (а;b), если он расположен ниже любой ее касательной на этом интервале.

x0 в которой выпуклость вверх меняется на выпуклость вниз

Теорема. Если функция у=ƒ(х) во всех точках интервала (а;b) имеет отрицательную вторую производную, т. е. ƒ"(х) < 0, то график функции в этом интервале выпуклый вверх. Если же ƒ"(х)>0 xє(а;b) — график выпуклый вниз.

производная ƒ"(х) при переходе через точку х0, в которой

Теорема (необходимое условие существования точек перегиба). Если дифференцируемая функция у=ƒ(х) имеет точку перегиба, то ее вторая производная в этой точке равна нулю: ƒ”(х0)=0.

у=х5-х+5.

прямая y=kx+b, расстояние до которой от точки, лежащей на

Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными.

точках разрыва функции или на концах ее области определения.

и горизонтальная, может быть правосторонней или левосторонней.

Найти область определения функции.
2.  Найти (если это можно) точки

3.  Выяснить, является ли функция четной, нечетной или общего вида.

4.  Найти асимптоты графика функции.

5.  Найти интервалы монотонности функции.

6.  Найти экстремумы функции.

7.  Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции.