Презентация на тему Основные теоремы

равна сумме вероятностей этих событий:
. 

(1)

возможные исходы опыта сводятся к совокупности случаев, которые мы

для наглядности изобразим в виде n точек:




Предположим, что m из этих случаев  благоприятны событию A,
а – n событию B.
Тогда

Так как события А и В несовместимы, то нет таких случаев, которые благоприятны и А, и В вместе. Следовательно, событию A и В благоприятны  m+n случаев и


Подставляя полученные выражения в формулу (1), получим тождество.
Теорема доказана.

событие А+В буквой D , и присоединяя к сумме еще одно событие C,

легко доказать, что:

число несовместных событий.
1. предположим, что она справедлива для n

событий:


2. докажем, что она будет справедлива для n+1 событий:

считаем теорему уже доказанной, то


Следовательно

что и требовалось доказать

событий, то сумма их вероятностей равна единице:

Доказательство:
Так как события   образуют

полную группу, то появление хотя бы одного из них – достоверное событие:

 Так как  они несовместные события, то к ним применима теорема сложения вероятностей



Следовательно

что и требовалось доказать

полную группу.(А)

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:


Это

следствие есть частный случай следствия 1

20 синих и 25 красных шаров. Вынули один шар.

Найти вероятность того, что вынутый шар а) синий или черный; б) белый, черный или синий.
Решение. Обозначим следующие события:
Б – вынули белый шар, ;
Ч – вынули черный шар, ;
С – вынули синий шар, ;
К – вынули красный шар, .

трех зон: I, II и III. Вероятность попадания в

первую зону при одном выстреле 0,15, во вторую 0,23, в третью 0,17. Найти вероятность промаха.





Решение. Обозначим –A- промах,  A- попадание. Тогда





тогда

формулы можно наглядно убедиться

вероятность события А не зависит от того, произошло событие  В или нет.
Определение:

Событие  А называется зависимым от события В , если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие  В или нет.

в бросании двух монет; рассматриваются события:
 А– появление герба на

первой монете,
В – появление герба на второй монете.

2) В урне два белых шара и один черный; два лица вынимают из урны по одному шару; рассматриваются события:
А – появление белого шара у 1-го лица,
 В– появление белого шара у 2-го лица.
Вероятность события  А до того, как известно что-либо о событии В , равна 2/3.
Если стало известно, что событие В произошло,  то вероятность события  А становится равной ½, из чего заключаем, что событие  зависит от события .

одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при

условии, что первое имело место:

(2)

сводятся к  n случаям, которые мы для наглядности изобразим в

виде  точек:




Предположим, что событию A  благоприятны m случаев, а событию B благоприятны  k случаев. Так как мы не предполагали события A и B  несовместными, то вообще существуют случаи, благоприятные и событию A, и событию B  одновременно. Пусть число таких случаев-l .
Тогда

известно, что событие A произошло, то из ранее возможных n случаев остаются возможными

только те m , которые благоприятствовали событию A. Из них  l случаев благоприятны событию B.
Следовательно,


Подставляя полученные выражения  и  в формулу (2), получим тождество.
Теорема доказана.

первым, а какое вторым,

событий всегда взаимны.
Определение: Два события называются независимыми, если

появление одного из них не изменяет вероятности появления другого.

Понятие независимости событий может быть распространено на случай произвольного числа событий. Несколько событий называются независимыми, если любое из них не зависит от любой совокупности остальных.

произведению вероятностей этих событий.
Следствие непосредственно вытекает из определения независимых

событий.