Презентация на тему Спецглавы математики

возникшей задачи не удается. Это происходит главным образом не

потому, что мы не умеем этого сделать, а в силу того, что искомое решение обычно не выражается в элементарных или других известных функциях. Поэтому важное значение приобрели численные методы, особенно в связи с возрастанием роли математических методов в различных областях науки и техники и с появлением высокопроизводительных ЭВМ [1].

т.е. содержит некоторую погрешность. Источниками погрешности приближенного решения являются:
-несоответствие

математической модели изучаемому реальному явлению;
-погрешность исходных данных;
-погрешность метода решения;
-погрешность округлений в арифметических и других действиях над числами.
Погрешность, обусловленная первыми двумя источниками, называется неустранимой.

являются приближенными, т.е. даже при отсутствии погрешности входных данных

и при идеальном выполнении арифметических действий они дают решение исходной задачи с некоторой погрешностью, называемой погрешностью метода.
Численный метод может считаться удачно выбранным, если его погрешность в несколько раз меньше неустранимой погрешности, а погрешность, возникающая за счет округлений, называется еще вычислительной погрешностью, по крайней мере, в несколько раз меньше погрешности метода.

а называется число, которое незначительно отличается от точного числа

А и заменяет последнее в вычислениях [6]. Если известно, что а < А, то а называется приближенным значением числа А по недостатку; если а > А, – то по избытку. Если а есть приближенное значение числа А, то пишут а ≈ А.
Под ошибкой или погрешностью А приближенного числа а обычно понимается разность между соответствующим точным числом А и данным приближенным, т.е.

значению числа прибавить его ошибку , т.е.

Во многих случаях

знак ошибки неизвестен. Тогда целесообразно пользоваться абсолютной погрешностью приближенного числа

Из приведенной записи следует, что абсолютной погрешностью приближенного числа а называется модуль разности между соответствующими точным числом А и его приближенным значением а, т.е.

найти ошибку или абсолютную погрешность не представляется возможным. В

этом случае полезно вместо неизвестной теоретической погрешности ввести ее оценку сверху, так называемую предельную абсолютную погрешность.
Под предельной абсолютной погрешностью приближенного числа а понимается всякое число , не меньшее абсолютной погрешности этого числа, т.е.

Если в последней записи вместо использовать формулу (1,1), то можно записать

а может быть представлено в виде конечной или бесконечной

дроби
(1.4)
где – десятичные цифры числа а ( = 0,1,2,...,9), причем старшая цифра а m – число разрядов в записи целой части числа а, а n – число разрядов в записи дробной части числа а. Например:
5214,73... = 5 · 103 + 2 · 102 + 1 · 101 + 4 · 100 +7 · 10-1 + 3 · 10-2... (1.5)
Все сохраняемые десятичные значения (i = m, m-1,…, m-n+1), отличные от нуля, и нуль, если он стоит между значащими цифрами или является представителем сохраненного десятичного разряда в конце числа называются значащими цифрами приближенного числа а. При этом нули, связанные с множителем 10n к значащим не относятся.

значащих цифр числа (считая слева направо) являются верными в

широком смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превосходит единицы (веса) n-го разряда. (Пояснение: 1 101 – здесь вес 1 равен 10; 1 100 – здесь вес 1 равен 1; 1 10-1 – здесь вес 1 равен 0,1; 1 10-2 – здесь вес 1 равен 0,01 и т.д.).

Определение (в узком смысле). Говорят, что n первых значащих цифр приближенного числа являются верными, если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы (веса) n-го разряда. (Пояснение: 1 101 – здесь вес половины 1 равен 5; 1 100 – здесь вес половины 1 равен 0,5; 1 10-1 – равен 0,05 и т.д.).

исходя из первого определения, значащие цифры 3,4 и

5 верные в широком смысле, а цифра 6 – сомнительна. Исходя из второго определения, значащие цифры 3 и 4 являются верными в узком смысле, а цифры 5 и 6 – сомнительные. Важно подчеркнуть, что точность приближенного числа зависит не от количества значащих цифр, а от количества верных значащих цифр.
Как в теоретических рассуждениях, так и в практических применениях большее применение находит определение верной цифры в узком смысле.
Таким образом, если для приближенного числа а, заменяющего число А, известно, что


то, по определению, первые n цифр этого числа являются верными.

(1.6)

а = 36,00 является приближенным с тремя верными знаками.

К этому результату приводят следующие рассуждения. Так как абсолютная погрешность нашего приближенного числа составляет величину 0,03, то по определению она должна удовлетворять условию



В нашем приближенном числе 36,00 цифра 3 является первой значащей цифрой (т.е. ), поэтому m = 1. Отсюда очевидно, что условие (1.7) будет выполняться при n = 3.

верные цифры. Неверные цифры отбрасывают, руководствуясь следующими правилами:
1.Если отбрасываемая

цифра меньше 5, то последняя сохраняемая цифра не изменяется.
2.Если первая из отбрасываемых цифр больше 5, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу. Последняя сохраняемая цифра увеличивается также и в том случае, когда первая из отбрасываемых цифр есть 5, а за ней есть одна или несколько цифр, отличных от нуля. Например, если число 0,3754 округляется до трех значащих цифр, то округленное число будет 0,375, а если до двух, то округленное число будет 0,38.
3.Если отбрасываемая цифра равна 5, а за ней нет значащих цифр, то последняя сохраняемая цифра остается неизменной, если она четная, и увеличивается на единицу, если она нечетная (правило четной цифры). Например, число 0,435 округляем до 0,44; а число 0,465 округляем до 0,46.

то порядок округления должен быть следующим.
1. Округление следует

начинать с погрешности, оставляя в ней одну или две значащие цифры. Если первая цифра – единица или двойка, то после округления в записи погрешности оставляют две значащие цифры. Если же первая значащая цифра больше двойки, то в записи погрешности оставляют одну значащую цифру.
Примеры.

Причем ее последняя значащая цифра должна находиться в той

же позиции, что и последняя значащая цифра погрешности.
Примеры.








Из приведенных примеров видно, что если в погрешности присутствуют всего одна или две значащие цифры, то в самом результате после округления количество значащих цифр должно быть не меньше, чем в погрешности, причем последние значащие цифры в обоих числах стоят на одной и той же позиции.

т.е. 10n, то такой же порядок должен быть и

у самой величины. При этом оба числа заключаются в скобки, и после них записывается множитель 10n.
Примеры.

верных знаков
Теорема (без доказательства). Если положительное приближенное число а

имеет п верных десятичных знаков, то относительная погрешность этого числа не превосходит величину , деленную на первую значащую цифру данного числа, т.е.


где – первая значащая цифра числа а.
За предельную относительную погрешность числа a можно принять

следует из формулы (1.6)

Пример. Приближенное число а = 24253

имеет относительную точность 1%. Сколько в нем верных знаков?
Решение. Исходя из абсолютной погрешности, определяемой формулой (1.9), запишем

В заданном числе а = 24253 первой значащей цифре 2 соответствует m = 4. Поэтому можем записать


Из последнего неравенства следует, что оно может выполняться лишь при n = 2. Следовательно, в числе а будут верными лишь первые две цифры.

погрешность алгебраической суммы нескольких приближенных чисел равна сумме предельных

абсолютных погрешностей этих чисел.
Пример 1. a1 = 25,74 ± 0,02; a2 = 96,42 ± 0,03; a1 + a2 = 122,16 ± 0,05, т.е. | ΔΣ | = | Δа1 | + | Δа2 | = 0,02 + 0,03 = 0,05.
Пример 2.и=2,72+3,00+2,11=7,83; Δи=0,005+0,005+0,005=0,015.
Округляя до одного знака после запятой и учитывая погрешность округления, получим и = 7,8±0,015, т.е. в записи и = 7,8 все цифры верны.
Пример 3. Необходимо сложить два приближенных числа 265 и 32. Пусть предельная погрешность первого числа равна 5, а второго – 1. Тогда предельная погрешность суммы равна 6. Так, если истинное значение первого числа есть 270, а второго 33, то приближенная сумма будет 265 + 32 + 297, т.е. она на 6 единиц меньше истинной 270 + 33 = 303.

+ 0,0769 + 0,0714 + 0,0667 + 0,0625 +

0,0588 +0,0556 + 0,0526.
Результатом сложения является число 0,6187. Поскольку предельная погрешность каждого слагаемого есть 0,00005, то предельная погрешность суммы будет 0,00005 9 = 0,00045. Значит, в последнем (четвертом) знаке суммы возможна ошибка до 5 единиц. Поэтому округляем сумму до третьего знака, т.е. до тысячных. В результате получаем число 0,619, в котором все три цифры являются верными.
При значительном числе слагаемых обычно происходит взаимная компенсация погрешностей. Поэтому истинная погрешность суммы лишь в исключительных случаях совпадает с предельной погрешностью или близка к ней. Иначе говоря, при значительном числе суммирования приближенных чисел их сумма, как правило, гораздо точнее слагаемых. Это происходит благодаря взаимной компенсации погрешностей суммируемых чисел.

равна 2, а предельная погрешность вычитаемого 32 равна 3.

Предельная погрешность разности 85–32=53 есть 2+3=5. Действительно, истинные значения уменьшаемого и вычитаемого могут равняться 85+2=87 и 32–3=29. Тогда истинная разность будет 87–29=58. Она на 5 единиц отличается от приближенной разности, равной 53.
Однако надо иметь ввиду, что в противоположность сумме разность приближенных чисел может быть менее точной, чем уменьшаемое и вычитаемое отдельно взятые. Эффект «потери точности» особенно велик в том случае, когда уменьшаемое и вычитаемое мало отличаются друг от друга.

трубки дало результаты мм, мм. Вычислим по этим данным

толщину стенки трубки. Предельная абсолютная погрешность уменьшаемого и вычитаемого одна и та же: 0,05. Относительная погрешность уменьшаемого и вычитаемого тоже примерно одинакова, а именно:


Толщина стенки трубки мм. Предельная абсолютная погрешность числа тоже будет 0,05, а относительная погрешность уже составит величину

отдельных измерений или расчетов, а также сумм и разности

приближенных чисел пользуются как абсолютной, так и относительной погрешностями, то для погрешностей произведений и частного предпочтительнее пользоваться относительными погрешностями. С чем это связано, рассмотрим на примерах.

Пример 7. Пусть даны два приближенных числа: и Относительные погрешности этих чисел соответственно равны:
Найдем произведение этих приближенных чисел:

знак вопроса, поскольку пока не ясно, что там нужно

писать. Для выяснения этого вопроса определим возможное максимальное значение результата умножения и возможное минимальное значение. Максимальное значение не может превышать число

, а минимальное значение не может быть меньше числа

Для максимального значения произведения абсолютная погрешность будет

Для минимального значения –

ни сложением, ни умножением погрешностей ( и ) исходных

приближенных чисел.
То есть их нельзя использовать вместо знака вопроса в приведенном выше результате умножения. Попробуем использовать для этой цели относительные погрешности.
Очевидно, нам нужно использовать относительные погрешности для максимального (1071) и минимального (931) результатов умножения, которые соответственно равны:

чисел a = 6,32 и b = 0,783. Определим

сначала их относительные погрешности. Решение выполним двумя способами: использованием формулы (1.8) и использованием предельных абсолютных погрешностей, как это делалось в предыдущем примере.
В соответствии с формулой (1.8) будем иметь


Напомним, что – это первая значащая цифра числа a, n – общее число значащих цифр в этом числе. Абсолютная относительная погрешность аналогично будет равна


Отсюда

погрешность чисел a и b явно не указаны. Но

в этом случае, пользуясь правилом, что при правильной записи приближенного числа указываются только верные цифры, получим


Предельные относительные погрешности соответственно будут равны:

двух приближенных чисел из примера 7. Рассуждаем аналогично. Очевидно,

что истинное значение частного не превышает величины

поэтому абсолютная предельная погрешность будет

С другой стороны истинная величина частного не может быть меньше, чем

Поэтому
Соответственно относительные погрешности и будут:



а общая величина погрешности составляет величину, близкую к 14%.

2.1. Общие соображения
Далеко не всякое уравнение может быть решено

точно.
Однако точное решение уравнения не всегда является обязательным. Задача отыскания корней уравнения может считаться фактически решенной, если мы сумеем определить корни с нужной степенью точности и указать пределы возможной погрешности.
Большинство применяемых приближенных способов решения уравнений являются способами уточнения корней, т.е. для их применения необходимы примерные значения корня. Для этой цели могут служить графические способы.
Пусть рассматриваемое уравнение имеет вид
ƒ(х) = 0 (2.1)
Построим в декартовой системе координат схематический график функции у = f(x). Абсциссы точек пересечения построенной кривой с осью Ох дадут нам значения действительных корней уравнения (2.1).

выделены участки оси абсцисс, в которых будут лежать корни

функции (этот процесс называется отделением корней), приступают к уточнению значений корней.
Все эти способы имеют одно общее свойство, состоящее в том, что нам должен быть известен интервал [а, b], в котором лежит уточняемый корень уравнения. Выбор этого интервала производится на основании известного свойства непрерывных функций: если функция f(x) непрерывна на замкнутом интервале [а, b] и на его концах имеет различные знаки, т.е. f(a)·f(b) < 0, то между точками а и b имеется хотя бы один корень уравнения f(x)= 0.
Для уточнения значения корня нужно производить сужение интервала [а, b]. Делать это можно следующим образом. Выбираем какую-либо точку с, лежащую внутри интервала [а, b] (обычно за точку с принимают середину отрезка [а, b]), и вычисляем значение f(c). В качестве нового интервала мы примем ту из этих двух половинок интервала [а, b], на концах которого функция имеет разные знаки.

любой степенью точности. Вместе с тем мы получаем и

оценку точности приближенного решения. Однако, несмотря на принципиальную простоту, такой подход на практике не всегда используется, так как часто требует слишком большого количества вычислений; поэтому мы рассмотрим другие способы уточнения корня. В случае применения этих способов необходимо, чтобы на рассматриваемом интервале [а, b] функция f(x) удовлетворяла следующим условиям:
-функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b] вместе со своими производными первого и второго порядков;
-значения f(x) на концах отрезка [а, b] имеют разные знаки;
-первая и вторая производные сохраняют определенный знак на всем отрезке.
Эти условия гарантируют, что корень уравнения (2.1) содержится интервале и других корней в этом интервале не имеется.

распространенными в случае приближенного решения.
Идея способа хорд состоит в

том, что можно с известным приближением допустить, что функция на достаточно малом интервале [а, b] изменяется линейно. Тогда кривую у=ƒ(х) на интервале [а, b] можно заменить хордой и в качестве приближенного значения корня принять точку пересечения хорды с осью абсцисс [7] – рис. (2.1).

качестве приближенного значения корня абсциссу точки В, в которой

хорда пересекается с осью абсцисс.
Напишем уравнение прямой, проходящей через точки M(a,f(a)) и M’(b,f(b))

Абсцисса точки В, являющаяся приближенным корнем х1, уравнения ƒ(х) = 0, может быть найдена из уравнения прямой (2.2), если положить в нем у = 0. Тогда будем иметь


Уравнение рассматриваемой прямой можно записать и в таком виде


Полагая здесь y = 0, получим

уточнения корня по способу хорд, рассматривая интервал [а, x1]

или же [x1, b] и исходя из того, в каком из них лежит истинный корень. Чтобы определить это, находят знак ƒ(х1).
Пример. Найдем по способу хорд положительный корень уравнения
ƒ(х) = x3 – 2x2 + 3x – 5 = 0.
Сначала определим знаки функции в различных точках и результаты сведем в табл. 2.1



Вычисление значений данной функции дает
ƒ(1,8) = – 0,248; ƒ(1,9) = + 0,339.
По формуле (2.3) получим:

ƒ(1,842 ) = – 0,01009 < 0. Отсюда видно,

что истинный корень расположен в интервале [1,842;1,9]. Снова применив к этому интервалу способ хорд, получим



ƒ(1,8437) < 0, ƒ(1,8438) > 0.
Видим, что значение корня находится в интервале между 1,8437 и 1,8438. Полагая значение корня равным х=1,84375, можно утверждать, что погрешность полученного приближения меньше 0,00005.

Введем некоторую точку с интервала [а, b] и проведем

в точке [с, ƒ(с)] заданного графика функции касательную к этому графику – (рис. 2.2).

(2.5)
В качестве приближенного корня уравнения ƒ(x) = 0 примем абсциссу точки пересечения касательной с осью Ох.
Уравнение касательной при у = 0, исходя из (2.5), пересекает ось абсцисс в точке


На рис. 2.2 мы приняли с = b. Нетрудно видеть, что в этом случае ƒ’(c) > 0 и ƒ”(с) > 0, так как кривая вогнута. Обычно принимают c = a или с = b, в зависимости от того, в какой из этих точек знак функции совпадает со знаком второй производной, т. е. с выбирают так, чтобы произведение ƒ(c)·ƒ“(c) было положительным. В этом случае можно гарантировать, что приближенное значение корня лежит в интервале [а, b], т. е. что а<х2Как и в случае применения способа хорд, значение х2 можно использовать для дальнейшего уточнения значения корня, беря интервал [a, x2] или [x2,b].