Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.


Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация на тему Интеграл и первообразная

Содержание

Содержание1. Первообразная1.1. Определение первообразной1.2. Основное свойство первообразной1.3. Три правила нахождения первообразной1.6. Таблица 2. Интеграл2.1. Площадь криволинейной трапеции2.2. Интеграл. Формула Ньютона – Лейбница
Интеграл и первообразная Содержание1. Первообразная1.1. Определение первообразной1.2. Основное свойство первообразной1.3. Три правила нахождения первообразной1.6. Таблица 1. Первообразная 1.1. Определение первообразной Определение: Функция F называется первообразной для функции 1.2 основное свойство первообразнойобщий вид первообразных. Задача интегрирования состоит в том, чтобы Основное свойство первообразной…Все первообразные функции f можно записать с помощью одной формулы, Основное свойство первообразнойСвойства первообразных1) какое бы число ни поставить в выражение F(x)+C 1.3 три правила нахождения первообразных Правило 1. если F есть первообразная для интеграл 2.1. площадь криволинейной трапецииПусть на отрезке [a; b] оси оХ задана 2.1площадь криволинейной трапеции…Рис.1yx011abXo 2.1 площади криволинейной трапеции…Пусть Хo принадлежит [a,b]. f(x) непрерывна в Xo. Тогда 2.1площаль криволинейной трапецииПолучили, что S есть первообразная для f. Поэтому в силу 2.2Интеграл. Формула Ньютона – ЛейбницаПонятие об интеграле. Пусть функция f неотрицательна и 2.2Рис.2X1X2Xn-1yx 2.2Для любой непрерывной функции на отрезке[a,b] доказано, что Sn  S к 2.2Эта формула называется формулой Ньютона – Лейбница. Она верна для любой функции 1.6Таблица первообразных 1.6Таблица первообразных
Слайды презентации

Слайд 2 Содержание
1. Первообразная
1.1. Определение первообразной
1.2. Основное свойство первообразной
1.3. Три

Содержание1. Первообразная1.1. Определение первообразной1.2. Основное свойство первообразной1.3. Три правила нахождения первообразной1.6.

правила нахождения первообразной
1.6. Таблица
2. Интеграл
2.1. Площадь криволинейной трапеции
2.2.

Интеграл. Формула Ньютона – Лейбница

Слайд 3 1. Первообразная 1.1. Определение первообразной
Определение: Функция F называется

1. Первообразная 1.1. Определение первообразной Определение: Функция F называется первообразной для

первообразной для функции f на заданном промежутке, если для

всех х из этого промежутка
F’(x) = f(x)

Слайд 4 1.2 основное свойство первообразной
общий вид первообразных. Задача интегрирования

1.2 основное свойство первообразнойобщий вид первообразных. Задача интегрирования состоит в том,

состоит в том, чтобы для заданной функции найти все

ее первообразные.

Признак постоянства функции. Если F’(x) =0 на некотором промежутке I, то функция F – постоянна на этом промежутке.
Доказательство. Зафиксируем некоторое х0 из промежутка I. Тогда для любого числа х из такого промежутка в силу формулы Лагранжа можно указать такое число с, заключенное между х и х0 , что
F(x)-F’(c) = F’(c)(x-x0).
По условию F’(c)=0, так как с I, следовательно,
F(x)-F(x0) = 0.
Итак, для всех х из промежутка I
F(x) = F(x0),
т.е. функция F сохраняет постоянное значение.
(продолжение следует)

Слайд 5 Основное свойство первообразной…
Все первообразные функции f можно записать

Основное свойство первообразной…Все первообразные функции f можно записать с помощью одной

с помощью одной формулы, которую называют общим видом первообразных

для функции f. Справедлива следующая теорема (основное свойство первообразных):
Теорема. Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде
F(x) + C,
Где F(x) – одна из первообразных для функции f(x) на промежутке I, а С – произвольная постоянная.

Слайд 6 Основное свойство первообразной
Свойства первообразных
1) какое бы число ни

Основное свойство первообразнойСвойства первообразных1) какое бы число ни поставить в выражение

поставить в выражение F(x)+C вместо С, получим первообразную для

f на промежутке I.
2) какую бы первообразную Ф для f на промежутке I ни взять, можно подобрать такое число С, что для всех х из промежутка I будет выполнено равенство
Ф(х) = F(x) + C.
Доказательство.
1) по условию функции F – первообразная для f на промежутке I. Следовательно, F’(x)=f(x) для любого х I, поэтому
(F(x) + C)’ = F’(x) + C’ = f(x) + 0 = f(x),
т.е. F(X) + C – первообразная для f .
2) пусть Ф(х) – одна из первообразных для функции f на том же промежутке I, т.е. Ф’(x)=f(x) для всех х I. Тогда
(Ф(х) - F(x))’ = Ф’(x) - F’(x) = f(x) - f(x) = 0
Отсюда следует в силу признака постоянства функции, что разность Ф(х)? F(x) есть функция, принимающая некоторое постоянное значение С на промежутке I.
Таким образом, для всех х из промежутка I справедливо равенство Ф(х) - F(x) = C, что и требовалось доказать.

Слайд 7 1.3 три правила нахождения первообразных
Правило 1. если

1.3 три правила нахождения первообразных Правило 1. если F есть первообразная

F есть первообразная для f, а для G –

первообразная для g, то F+G есть первообразная для f+g.
Действительно, так как F’=f и G’=g, по правилу вычисления производной суммы имеем:
(F+G)’ = F’ + G’ = f + g.
Правило 2. если F есть первообразная для f, а k – постоянная, то функция kF – первообразная для kf.
Действительно, постоянный множитель можно выносить за знак производной, поэтому:
(kF)’ = kF’ = kf.
Правило 3. если F(x) есть первообразная для f(x), а k и b – постоянные, причем k=0, то F(kx+b) есть первообразная для f(kx+b).
Действительно, по правилу вычисления производной сложной функции имеем:
( F (kx + b))’ = F’(kx + b)*k=f (kx + b)

Слайд 8 интеграл 2.1. площадь криволинейной трапеции
Пусть на отрезке [a; b]

интеграл 2.1. площадь криволинейной трапецииПусть на отрезке [a; b] оси оХ

оси оХ задана непрерывная функция f, не меняющая на

нем знака. Фигуру, ограниченную графиком этой функции, отрезком [a; b] и прямых х = а и х = b, называют криволинейной трапецией.
Теорема. Если f – непрерывная и неотрицательная на отрезке [a; b] функция, a F - ее первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке [a; b] , т.е.
S=F(b)-F(a).
Доказательство. Рассмотрим функцию S(x), определенную на отрезке [a; b]. Если a Докажем, что
S’(xo) = f(xo).

Слайд 9 2.1площадь криволинейной трапеции…
Рис.1
y
x
0
1
1
a
b
Xo



2.1площадь криволинейной трапеции…Рис.1yx011abXo

Слайд 10 2.1 площади криволинейной трапеции…
Пусть Хo принадлежит [a,b]. f(x)

2.1 площади криволинейной трапеции…Пусть Хo принадлежит [a,b]. f(x) непрерывна в Xo.

непрерывна в Xo. Тогда в достаточно малой окрестности в

точке Xo функцию f(x) можно считать постоянной и равной f(Xo).
Тогда прирощение равно площади приближенно равно: f(x) x
S : x = f(x)
Если x 0, S : x S’(Xo)
S’(Xo) = f(Xo) т.е S - первообразная функции f в точке Xo



Слайд 11 2.1площаль криволинейной трапеции
Получили, что S есть первообразная для

2.1площаль криволинейной трапецииПолучили, что S есть первообразная для f. Поэтому в

f. Поэтому в силу основного свойства первообразных для всех

х [a; b] имеем:
S(x) = F(x) + C,
Где С - некоторая постоянная, а F – одна из первообразных для функции f. Для нахождения С подставим х = а:
F(a) + C=S(a)=0,
Откуда С= -F(a). Следовательно,
S(x) = F(x) - F(a).
Поскольку площадь криволинейной трапеции равна S(b), подставляя х = b в формулу S(x)+F(x)-F(a), получим:
S = S(b) = F(b) - F(a).

Слайд 12 2.2Интеграл. Формула Ньютона – Лейбница
Понятие об интеграле. Пусть

2.2Интеграл. Формула Ньютона – ЛейбницаПонятие об интеграле. Пусть функция f неотрицательна

функция f неотрицательна и непрерывна на отрезке [a; b],

тогда площадь S соответствующей криволинейной трапеции можно приближенно подсчитать следующим образом.
Разобьем отрезок [a; b] на n отрезков одинаковой длины точками
x0 = a < x 1 < x 2 < … < x n -1 < x n = b, и пусть х = = x k – x k - 1, где k = 1, 2, …, n-1, n. На каждом из отрезков [x k-1; x k] как на основании построим прямоугольник высотой f(x k-1). сумма площадей всех таких прямоугольников (рис.2) равна:
Sn = (f(x0) + f(x1) + … + f(x n-1)).
Т.к f(x) непрерывная функция , то при x o,т.е n , то Sn S







Слайд 13 2.2
Рис.2
X1
X2
Xn-1
y
x


2.2Рис.2X1X2Xn-1yx

Слайд 14 2.2
Для любой непрерывной функции на отрезке[a,b] доказано, что

2.2Для любой непрерывной функции на отрезке[a,b] доказано, что Sn S к

Sn S к некоторому числу. Это число называют

интегралом функции .
f(x)d(x), где f(x) подинтегральная функция, a – нижний предел интегрирования, b- верхний, - интеграл, x – переменная. Интеграл – это предел интегрированяи сумм. Сравнивая S= F(b) – F(a) и S= f(x)dx, можно записать







Слайд 15 2.2
Эта формула называется формулой Ньютона – Лейбница. Она

2.2Эта формула называется формулой Ньютона – Лейбница. Она верна для любой

верна для любой функции f, непрерывной на отрезке [a;

b].

Слайд 16 1.6Таблица первообразных

1.6Таблица первообразных

  • Имя файла: integral-i-pervoobraznaya.pptx
  • Количество просмотров: 159
  • Количество скачиваний: 0
- Предыдущая Parts of nature