Презентация на тему Стохастический дискретный процесс

узком смысле) Случайный (стохастический) процесс является строго стационарным, если

сдвиг во времени не меняет и одну из функций плотности распределения. То есть, если ко всем моментам времени прибавить некую целочисленную величину, то функция плотности при этом не изменится:
для всех n, моментов времени и целочисленном Δ.
Опр. 2 (слабой стационарности или стационарности в широком смысле) Случайный процесс называются стационарным в широком смысле, если он обладает постоянной средней и дисперсией (то есть дисперсия и математическое ожидание не зависят от времени), а ковариация зависит только от временного интервала между двумя отдельными наблюдениями.
То есть случайный процесс vt называют стационарным, если для него выполняются следующие условия:
1) М(vt)= М(vt+k)=m=const;
2) D(t)=2=const;
3) cov(vi,vj)=cov(vi+l,vj+l) при любых ij.
Соответственно временные ряды представленные строго стационарными и слабо стационарными случайными процессами называются стационарными временными рядами в узком и широком смысле.

если он удовлетворяет следующим трем требованиям:
1) М(t)=0;
2) D(t)=2=const;
3) cov(t,t+k)=0

при любых t и k0;
В случае, если процесс также удовлетворяет условию:
4) εt ~ N(0; σ)
То его называют Гауссовым белым шумом.
Для проверки на соответствие процесса «белому шум», достаточно проанализировать АКФ и ЧАКФ процесса и /или провести спектральный анализ. Теоретически белый шум
имеет вид горизонтальной прямой
с ординатой

– это модель, где моделируемая величина задается линейной комбинацией

от процессов белого шума, следующими друг за другом
(3)
Где q – количество лагов запаздывания называется порядком МА-модели.
Термин «скользящая средняя», используемый здесь не стоит путать с соответствующим термином, относящимся к непараметрическим методом поиска тренда.
Процессы скользящей средней – всегда стационарны в слабом смысле.
Введем понятие оператора сдвига:




Тогда процесс МА(q) можно записать как

котором значение ряда находится в линейной зависимости от предыдущих

значений.
Например, если текущее наблюдаемое значение является функцией всего лишь одного значения, непосредственно предшествующего наблюдению, то есть процесс зависит всего лишь от одного значения рассматриваемой переменной, то процесс называется авторегрссионным процессом первого порядка и обозначается AR(1). Это можно обобщить следующим образом: если анализируемый динамический процесс зависит от 1 до p временных лагов назад, то это авторегрессионный процесс порядка р, т. е. AR(р):
(1)
Здесь текущее значение Y – функция от р наиболее недавних предыдущих значений. р– порядок авторегрессии.
- процесс белого шума

записать в виде:
Теорема: AR-процесс является стационарным тогда и только

тогда, когда корни соответствующего ему характеристического уравнения
лежат вне единичного круга, то есть .
Тесты на наличие единичных корней: для АР-процесса выписывается характеристическое уравнение, разрешая которое определяют, входят ли его корни (комлекснозначные) в единичный
круг или нет. Если все корни уравнения
лежат вне круга, то процесс
представленный АР-процессом является
стационарным.
Определение: Процесс вида
называется процессом случайного блуждания
или процессом единичного корня

которые сочетают авторегрессионный процесс с моделью скользящей средней называются

авторегрессионными моделями скользящей средней (АРСС, ARMA). Модель АРСС(p,q) имеет р временных лагов в авторегрессионном процессе и q интервалов в модели скользящей средней.
(4)
где - остаточный член ошибки – белый шум.
Так АРСС(3,2) имеет вид:


АRМА процесс моет быть представлен при самых общих допущениях как бесконечный AR-процесс или как бесконечный МА-процесс.
При анализе временных рядов рекомендуется выбирать конечные АРСС-процессы с наименьшим числом параметров, подлежащих оценке Как правило .

для временного ряда Yt . Идентификацией этой модели называется

процедура определения неизвестных значений p и q.
Существует несколько подходов к идентификации моделей АРСС.
I подход:
Идентификацию модели АРСС проводят на визуальном анализе коррелограммы АКФ и частичной коррелограммы ЧАКФ.
Здесь используются следующие особенности АКФ:
В случае АР моделей ее модуль убывает по экспоненте, осциллируя около нуля;
В случае СС(q) модели только первые q значений отличны от нуля;
В модели АРСС(p, q), после q-р значений, АКФ имеет вид, такой же, как АР модель.
Свойства поведения ЧАКФ:
Для АР(р) моделей, она равна нулю после первых р значений.
Для моделей СС она экспоненциально убывает по модулю.
Для АРСС(р,q) моделей, после первых р-q значений,она ведет себя также как и для модели СС.

в рядах, где присутствуют элементы авторегрессии и скользящей средней,

используется критерий Люнга-Бокса.
Значение LBрасч определяется по формуле:

(5)
где m – максимальное число временных лагов, рассматриваемых в модели, р – порядок авторегрессии, q – порядок процесса скользящей средней, n –число наблюдений во временном ряду, r2k – коэффициент автокорреляции.
Из таблицы критических значений находится для m-p-q степеней свободы. Затем сравнивают LBрасч и , если LBрасч> , то порядок авторегрессионного процесса равен p, а порядок процесса скользящей средней - q.

модели АРСС подходит метод спектрального анализа.
Авторегрессионный процесс первого порядка

(при α>0)





Процесс скользящей средней первого порядка (при b<0)

процесс, представленный временным рядом, может быть описан с помощью

нескольких моделей АРСС различных порядков.
Возникает задача селекции (отбора) модели.
Для выбора наиболее подходящей модели используют информационные критерии Акайке (AC), Шварца (SC) и Ханна-Квина (НQ), определяемые по соответствующим формулам:
;

;


здесь n – общее число наблюдений временного ряда, k – число степеней свободы модели (для АРСС k=p+q), – остаточная или объясненная моделью дисперсия.
Выбирают АРСС-модель, для которой значения AC, SC и HQ критериев имеют наименьшее значение.

заключающейся в тестировании оценок на достоверность (эффективность, состоятельность и

несмещенность) необходимо проанализировать остатки έ . Если модель АРСС (p; q)достаточно хорошо описана, то остатки являются независимыми нормально распределенными случайными величинами с нулевым математическим ожиданием, с постоянной дисперсией и нулевой атокорреляцией.
Поэтому для проверки адекватности модели (достоверности оцененных параметров) достаточно проверить остаточную компоненту на соответствии гауссову «белому шуму».
Для этого проводят спектральный анализ или анализ АКФ, ЧАКФ + тест на нормальность (Пирсона, Колмогорова-Смирнова, Бера-Жарка).