Презентация на тему Объемы тел

объемов тел.
Объем куба.
Объем прямоугольного параллелепипеда.
Объем прямой призмы.
Объем цилиндра.
Объем наклонной

призмы.
Объем пирамиды.
Объем конуса.
Применение.
Вывод.
Источники информации.

древности при решении чисто практических задач. Со временем, когда

накопилось большое количество геометрических фактов, у людей появилось потребность обобщения, уяснения зависимости одних элементов от других, установления логических связей и доказательств. Постепенно создавалась геометрическая наука. Примерно в VI - V вв. до н. э. в Древней Греции в геометрии начался новый этап развития, что объясняется высоким уровнем, которого достигла общественно-политическая и культурная жизнь в греческих государствах.

встречаются правила для определения объема усеченной пирамиды, но не

сообщаются правила для вычисления объема полной пирамиды. Определять объем призмы, пирамиды, цилиндра и конуса умели древние греки и до Архимеда. И только он нашел общий метод, позволяющий определить любую площадь или объем. Идеи Архимеда легли в основу интегрального исчисления. Сам Архимед определил с помощью своего метода площади и объемы почти всех тел, которые рассматривались в античной математике. Он вывел, что объем шара, составляет две трети от объема описанного около него цилиндра. Он считал это открытие самым большим своим достижением.

имели форму пирамид. В III тысячелетии до н.э. египтяне

сооружали ступенчатые пирамиды, сложенные из каменных блоков; позже египетские пирамиды приобрели геометрически правильную форму, например пирамида Хеопса, высота которой достигает почти 147м, и др. Внутри пирамид находились погребальные склепы и коридоры.

Демокрит из Абдеры установил, что объем пирамиды равен одной

трети объема призмы с тем же основанием и той же высотой.

IV до н.э.

других сооружений в виде кубов, призм и цилиндров египтяне

и вавилоняне, китайцы и индийцы вычисляли путем умножения площади основания на высоту. Однако древнему Востоку были известны в основном только отдельные правила, найденные опытным путем, которыми пользовались для нахождения объемов для площадей фигур. В более позднее время, когда геометрия сформировалась как наука, был найден общий подход к вычислению объемов многогранников.        Евклид не применяет термина “объем”. Для него термин “куб”, например, означает, и объем куба. В ХI книге “Начал” изложены среди других и теоремы следующего содержания.

Параллелепипеды с одинаковыми высотами и равновеликими основаниями равновелики.
Отношение объемов двух параллелепипедов с равными высотами равно отношению площадей их оснований.

т. е. части пространства, ограниченной одной или несколькими замкнутыми

поверхностями. Вместимость или емкость выражается числом заключающихся в объеме кубических единиц. Процедура измерения объемов аналогична процедуре измерения площадей. При выбранной единице измерения объем каждого тела выражается положительным числом, которое показывает, сколько единиц измерения объемов и частей единицы содержится в данном теле. Ясно, что число, выражающее объем тела, зависит от выбора единицы измерения объемов, и поэтому единица измерения объемов указывается после этого числа.
Например, если в качестве единицы измерения объемов взят 1см3 и при этом объем V некоторого тела оказался равным 2, то пишут V = 2 см3.

занимаемую телом, и обладающая следующими свойствами:
равные тела имеют

равные объемы; при параллельном переносе тела его объем не изменяется;
если тело разбить на части, являющиеся простыми телами, то объем тела равен объему его частей;
за единицу объема принят объем куба, ребро которого равно единице длины;

геометрическое тело составлено из геометрических тел, не имеющих общих

внутренних точек, то объем данного тела равен сумме объемов тел его составляющих;
Объем куба, ребро которого равно единице измерения длины, равен единице;
Равные геометрические тела имеют равные объемы.
Следствие. Если тело имеет объем V1 и содержится в теле, имеющем объем V2, то V1 < V2.

параллелепипеда с линейными размерами a, b, c докажем, что

объемы двух прямоугольных параллелепипедов с равными основаниями относятся как их высоты.
Пусть P и P1 – два прямоугольных параллелепипеда с общим основанием ABCD и высотами AE и AE1. Будем считать для определенности, что AE1 < AE. Пусть V и V1 – объемы параллелепипедов. Разобьем ребро AE параллелепипеда P на большое число n равных частей. Каждая из них равна AE/n. Пусть m – число точек деления, которые лежат на ребре AE1. Тогда Отсюда Проведем через точки деления плоскости, параллельные основанию. Они разобьют параллелепипед P на n равных параллелепипедов. Каждый из них имеет объем V/n. Параллелепипед P1 содержит первые m параллелепипедов, считая снизу, и содержится в m+1 параллелепипедах. Поэтому Отсюда Так как V1/V и AE1/AE заключены между m/n и m/n + 1/n, то они отличаются не более чем на 1/n. А так как n можно взять сколь угодно большим, то это может быть только при что и требовалось доказать. Возьмем теперь куб, являющийся единицей измерения объема, и три прямоугольных параллелепипеда с измерениями: a, 1, 1; a, b, 1; a, b, c. Обозначим, их объемы V1, V2 и V соответственно. По доказанному

Перемножая эти равенства почленно, получим: V=abc.

основания на высоту: V  =  SH .
Доказательство :
Пусть

ABCA 1 B 1 C 1 – прямая треугольная призма, причем ее основание – прямоугольный треугольник ABC (чертеж 6.1.1). Дополним эту призму до прямоугольного параллелепипеда ACBDA 1 C 1 B 1 D 1. Середина O диагонали AB 1 этого параллелепипеда является его центром симметрии. Данная призма и призма ABDA 1 B 1 D 1, которая дополняет данную призму до параллелепипеда, симметричны относительно точки O , а поэтому равновелики. Пусть V и V 1 – соответственно объемы призмы ABCA 1 B 1 C 1 и параллелепипеда, тогда получим
V=SABCCC1=SоснH

содержащие его простые тела и содержащиеся в нем простые

тела с объемами, сколь угодно мало отличающимися от V.
Найдем объем цилиндра с радиусом основания R и высотой H. Построим две прямые призмы с высотой H такими, что основание одной призмы является n-угольник, содержащий круг, а основание второй призмы n-угольник, содержащийся в круге. Тогда первая призма содержит цилиндр, а вторая призма содержится в цилиндре. При неограниченном увеличении n площади многоугольников приближаются к площади круга S(основанию цилиндра) и, следовательно, их объемы неограниченно приближаются к SH. Тогда

основания на высоту.          Доказательство. Пусть площадь основания призмы равна

S, а ее высота Н. Поместим начало системы координат в одной из вершин верхнего основания призмы, а ось Ох направим перпендикулярно плоскости основания призмы . Сечение призмы плоскостью, перпендикулярной оси Ох, равно основанию призмы, следовательно,

площади ее основания на высоту:  V=1/3SH

— радиус основания конуса, H -- его высота

V=SH

ребра: V=a³
2.Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению

его измерений:  V=abc. 3. Объем  прямого параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту: V=SH 4. Объем  произвольного  параллелепипеда равен произведению площади основания на его высоту: V=SH 5.  Объем призмы равен произведению площади основания на высоту: V=SH
6. Две треугольные пирамиды, имеющие равные высоты и равные площади оснований, имеют равные объемы:   V1′ = V2′ 7.  Объем любой треугольной пирамиды равен одной третьей произведения площади ее основания на высоту:  V=1/3SH 8. Объем любой пирамиды равен одной третьей произведения площади ее основания на высоту:  V=1/3SH
9.  Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту:  V= ПR^2H  10. Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту:  V=1/3ПR^2H 11.  Объем усеченного конуса равен V=1/3 H(R^2+Rr+r^2), где R  и r  – радиусы оснований усеченного конуса.
12.  Для подобных фигур на плоскости, имеющих площадь, верна теорема: отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Для подобных пространственных тел, имеющих объем, верна аналогичная теорема: отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия.