Презентация на тему по геометрии на тему Четырехугольники

стороны и четыре угла.
А
В
С
D
AB, BC, CD, AD –
стороны
A,

B, C, D –
вершины
∠ABC , ∠ BCD, ∠ CDA, ∠ DAB -
углы

ВС и АD).

2) Две вершины, не являющиеся соседними,

называются также противоположными вершинами
(например, С и А).

А

В

С

D

сторонами. (Например, АВ и ВС).
4) Вершины, являющиеся концами одной

стороны, называются соседними . (Например, А и В).

А

В

С

D

5) Отрезки, соединяющие противоположные вершины, называются диагоналями.

А

В

С

D

не лежат на одной прямой.
2. Каждая

вершина является общим концом двух и только двух сторон.
3. Стороны четырехугольника не имеют других точек
пересечения кроме вершин.

А

В

С

D

Замечания.

он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей

через его соседние вершины.
A1B1C1D1 — невыпуклый четырёхугольник (вогнутый), он лежит по разные стороны от каждой прямой, проходящих через две его соседние вершины.

A

B

C

D

A1

B1

C1

D1

DAB = 360


Теорема о сумме углов четырехугольника:
«Сумма углов

четырёхугольника
равна 360»

параллелограмм».

произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон».
BD ·AC =

AB · CD + BC · AD

А

В

С

D

его вершины
лежат на окружности.

углов равна 180°
( ∠A+ ∠ C= ∠ B+

∠ D=180° ).

А

В

С

D

все его стороны
касаются этой окружности.


A
B
C
D

противоположных сторон равны
(AB + CD = BC +

AD).

A

B

C

D

это четырёхугольник, в котором при трёх
вершинах прямые углы.

произведения диагоналей на синус угла между ними».
А
В
С
D
О

 
 

по формуле (где р – полупериметр)
 

A
B
C
D
a
b
c
d

параллельны.
1). Параллелограмм.
А
В
С
D
AB||CD, BC||AD

BC||AD)
AC и BD – диагонали
AC ∩ BD =

O
Значит:
AO=OC
BO=OD

А

В

С

D

О

углы равны.


О
ABCD (AB||CD, BC||AD)
Значит:
AВ=DC
BC=AD
∠BAD = ∠BCD
∠ABC =

∠CDA

А

В

С

D

стороне, равна 180°.


О
ABCD (AB||CD, BC||AD)
Значит:
∠BAD + ∠АDС=180°
(например).



А
В
С
D

квадратов всех
сторон.


О
ABCD (AB||CD, BC||AD)
AC и BD – диагонали

AC ∩ BD = O
Значит:

А

В

С

D

О

AC² + BD² =
=AB² + BC² + CD² + DA²

высоту, проведенную к этой стороне.


О
ABCD (AB||CD, BC||AD)
Значит:
S =

ВН·АD

А

В

С

D

Н

параллельны, то этот четырёхугольник –
параллелограмм.


О

А
В
С
D
Если
ABCD – четырёхугольник
AB||CD,

AB = CD,
то
ABCD (AB||CD, BC||AD).

то этот четырёхугольник –
параллелограмм.


О

А
В
С
D
Если
ABCD – четырёхугольник
ВС = АD,

AB = CD,
то
ABCD (AB||CD, BC||AD).

пересечения делятся пополам, то этот
четырёхугольник – параллелограмм.


О

А
В
С
D
Если
ABCD –

четырёхугольник
ВО = ОD, AО= CО,
то
ABCD (AB||CD, BC||AD).

О

Прямоугольник.
А
В
С
D
AB||CD, BC||AD и ∠А= ∠ В= ∠ С= ∠

D=90°

пересечения делятся пополам,
- в прямоугольнике противоположные стороны равны и

противоположные углы равны,
- в прямоугольнике сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°,
- в прямоугольнике сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон.

две оси симметрии, которые проходят через точки пересечения диагоналей

параллельно его сторонам.

А

В

С

D

AC = BD

А

В

С

D

AD ²
О

прямоугольник.





А
В
С
D
Если
в параллелограмме AC = BD,
то
это прямоугольник.

Этот прямоугольник содержит в себе квадрат и малый прямоугольник

золотого сечения (его большая сторона является малой стороной первоначального прямоугольника.) Поэтому можно построить прямоугольник золотого сечения на основании квадрата: сторона квадрата делится пополам, из той точки к вершине проводится диагональ, с помощью которой на стороне квадрата строится прямоугольник золотого сечения, как показано на 2 рисунке.

квадрата и малого прямоугольника золотого сечения, то есть оба

эти прямоугольника являются прямоугольниками золотого сечения. Иначе говоря, если отсечь от прямоугольника золотое сечение квадрата, то остается меньший прямоугольник, стороны которого опять же будут находиться в отношении золотого сечения. Разбивая этот меньший прямоугольник на квадрат и еще меньший прямоугольник, мы опять получим прямоугольник золотого сечения, и так до бесконечности. Если соединить вершины квадратов кривой, то мы получим логарифмическую кривую, бесконечно растущую спираль, которую называют "кривая развития", "спираль жизни", ибо в ней как бы заложена идея бесконечного развития

рассечении прямоугольника золотого сечения обнаруживает повторение целого в его

частях, что является одним из условий гармонии целого. Это свойство прямоугольника золотого сечения было обнаружено художниками, и они стали употреблять золотое сечение как способ гармонизации, способ пропорционирования. Фидий использовал золотое сечение . при постройке Акрополя (5 век до н. э. ). Греческие ремесленники, создавая гончарные изделия также применяли золотое сечение. В эпоху Возрождения золотое сечение использовали не только в зодчестве, скульптуре, живописи, но и в поэзии и музыке. Дюрер, Леонардо да Винчи и его ученик Лука Пачоли применяли золотое сечение в поисках гармоничных пропорций букв.

средневековых рукописных книг, и в современной книге, так как

стройные пропорции золотого сечения позволяют красиво организовать пространство книжной страницы и разворота.

Квадрат.
А
В
С
D
AB=CD, BC=AD

прямоугольник, у которого две смежные стороны равны или как

ромб, у которого все углы прямые.
Квадрат обладает всеми свойства параллелограмма, прямоугольника, ромба.

Замечания.

А

В

С

D

его стороны:

4. Длина диагонали:

А
В
С
D
AC² + BD² = 4 ·

AB²

d= a

5. Пусть а - сторона квадрата, R - радиус описанной окружности, r - радиус вписанной окружности. Тогда периметр квадрата равен:

P = 4а=4 R² = 8r

а

R

r

прямоугольник и квадрат имеют одинаковые периметры , то наибольшую

площадь будет иметь квадрат.
5. В квадрате есть золотое сечение. Один из видов золотого сечения - это модульная сетка.

А

В

С

D

 

набора. Конечно, модульная сетка, постольку, поскольку имеет дело с

печатными изданиями, должна учитывать размеры строк, высоту литер, пробельные элементы в типографских мерах (квадраты, цицеро, пункты), чтобы правильно располагать печатный материал на странице. Система сеток благодаря четкой модульной основе позволяет ввести в процесс проектирования издания электронные программы. В прикладной, промышленной графике модульную сетку применяют при конструировании всевозможных рекламных изданий и, в особенности при проектировании графического фирменного стиля. Модульную сетку применяют при конструировании различных знаков, знаков визуальных коммуникаций, товарных знаков и др.

Квадрат очень удобный модуль. Он широко используется как модуль

в современной мебельной промышленности, в особенности, при конструировании сборной мебели, "стенок". Двойной квадрат издавна известен как модуль традиционного японского дома, где размеры комнат находились в соответствии с тем, сколько раз уложится на полу циновка-татами имеющая пропорции двойного квадрата. В прикладной графике квадрат используется для форматов проспектов альбомов, детских книг, но он также определяет и внутреннее пространство этих изданий. Квадратный модуль может использоваться и не в квадратном формате. Приведем пример использования квадратного модуля в квадратном формате: при трехколоночном наборе текста вся площадь, отведенная под текст и иллюстрации, делится на 9 квадратов. Если ширину колонки обозначить 1, то квадрат будет 1х1. Иллюстрации при этом могут занимать площади: 1х1, 1х2, 1хЗ, 2х2, 2хЗ, ЗхЗ, 2х1, и т. д., то есть мы будем иметь достаточно широкие возможности для комбинирования иллюстраций и текста в верстке.

и круга с человеческой фигурой известная еще древним (Витрувий).

Художники Возрождения - немец Дюрер, итальянец Пачоли, француз Тори, занимаясь разработкой начертания букв, исходили из формы квадрата, буква со всеми своими элементами вписывалась в квадрат (рис. 12), хотя и не все буквы приравнивались к квадрату, однако общий композиционный строй определялся квадратом. Квадрат является устойчивой, статичной фигурой. Она ассоциируется с чем-то неподвижным, завершенным. В Древнем мире у некоторых народов изображение квадрата было связано с символикой смерти. (В этой связи интересно заметить, что пропорции квадрата в природе встречаются в формах неживой материи, у кристаллов). Благодаря своей статической завершенности квадрат используется в прикладной графике, в области визуальных коммуникаций наряду с формой круга как элемент, фиксирующий внимание, а также для ограничения пространства, на котором сосредоточена информация

Ромб.
А
В
С
D
AB=CD=BC=AD

пересечения делятся пополам,
- в ромбе противоположные стороны равны и

противоположные углы равны,
- в ромбе сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°,
- в ромбе сумма квадратов диагоналей равна учетверённому квадрату стороны:
AC² + BD² = 4 ·AB²

ромба являются биссектрисами его углов;
каждая диагональ ромба является

осью его симметрии.

А

В

С

D

квадрата его стороны и синуса острого угла:
Площадь ромба равна

половине произведения диагоналей:
Площадь ромба равна произведению любой стороны на высоту, проведённую к этой стороне:

А

В

С

D

S = a² sinβ

β

S =1/2d1d2

S = aha

- ромб.
2. Если в параллелограмме диагонали являются биссектрисами его

углов, то он - ромб. 3. Параллелограмм является ромбом, если две его смежные стороны равны.

А

В

С

D

странице, вдохновил вид скрещивающихся ферм, поддерживающих лестничную площадку в

двухэтажном доме. Опять же принцип трибара здесь очевиден. Эта фигура представляет собой не что иное, как два трибара, соединенных вместе в форме ромба. Вы можете расширить эту конструкцию, присоединяя дополнительные трибары. Эшер в своей знаменитой композиции соединил вместе три трибара. Здесь нет никаких ограничений. Теоретически можно соединить много таких трибаров по образцу лоскутного одеяла или другого дизайна. Во всяком случае, мы предоставим читателю самому пририсовывать треугольники к этой коварной квадратной квазифигуре!

Замечание.
Перекрещенный ромб.

а две другие стороны не параллельны.

5). Трапеция.

А
В
С
D

трапеции называются ее основаниями, а непараллельные стороны — боковыми

сторонами. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией.

стороны равны.
Прямоугольная трапеция – это трапеция, у которой один

из углов прямой.

A

B

C

D

AB = CD

A

B

C

D

Особые виды трапеций.

равны и углы при основании равны.

2. Если трапеция равнобокая,

то около неё можно описать окружность.

А

В

С

D

BD = AC
BAD = CDA

Свойства.

A

B

C

D

боковых сторон, то в неё можно вписать окружность.
4. Площадь

трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту:
S = 0,5 h (a + b)
5. Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту:
S = m h

A

B

C

D