Презентация на тему по информатике. Программирование. Приближенные методы решения уравнений. Метод простой итерации.

корня уравнения?

Объясните геометрический смысл корня?

методам решения уравнений?

Что значит корень вычислен с заданной

степенью точности ε ?

Необходимое условие существования корня.
Теорема 2 о существовании корня

на отрезке? Необходимое и достаточное условие существования корня.
Теорема 3 о существовании корня на отрезке?

приближенными (численными) методами?

Что значит отделить корни?

Когда корень

считается отделённым на отрезке?

- непрерывная функция.
Требуется определить вещественный корень этого уравнения,

заключенный на отрезке [a,b].

Заменим уравнение f(x) =0
равносильным ему уравнением X = φ (x) (1)

Выберем каким-либо способом X0 є [a,b]

и подставим его в правую часть уравнения (1); тогда получим X1= φ (X0)
Затем это значение X1 подставим снова в правую часть уравнения (1) и получим X2= φ (X1)
Повторяя этот процесс, получим последовательность чисел Xn= φ (Xn-1)

X2, …, Xn, … сходится, т.е. имеет предел, и

тогда этот предел будет корнем уравнения
f(x) =0;
lim Xn =ξ n → ∞
2. Последовательность X0, X1, X2, …, Xn, … расходится, т.е. не имеет предела.

имеется единственный корень уравнения X = φ (X).
Если

во всех точках этого отрезка производная φ ’(X) удовлетворяет неравенству |φ ’ (X)| <=q <1
Если при этом выполняется условие a<=φ (X)<=b , то итерационный процесс сходится, а за первое приближение можно взять любое число из отрезка [a,b].

Последнее условие означает, что все приближения X0, X1, X2, …, Xn, … находятся на отрезке [a,b].

Чем меньше |φ ’ (X)|, тем лучше сходится итерационный процесс.

φ (X) , а число q определяется из соотношения
|φ

’ (X)| <=q <1 (Практически q можно получить как верхнюю границу модуля производной | φ’ (x)| при X є [a,b])
Тогда справедливо соотношение
| ξ – Xn |<=q/(1-q) |Xn- Xn-1|

Если поставить условие, что истинное значение корня должно отличаться от приближенного значения на величину ε , т. е. | ξ – Xn |<= ε , то приближения
X0, X1, X2, …, Xn, … надо вычислять до тех пор, пока не будет выполнено неравенство:
q/(1-q) |Xn- Xn-1| <= ε
или |Xn- Xn-1|<= ε (1-q)/q

φ (x) можно различными способами, однако для применения метода

простой итерации следует взять то из них, для которого выполняется теорема о сходимости.

q, E: real;
Function f(t:real):real;
Begin
F:=exp(t)-2;

End;