Презентация на тему Алгоритм Карпа-Рабина

любой символ
Пример. P = abxxcx содержится в тексте gabdccbababcad

дважды.

Образцы, позиции которых заданы множествами символов
a- [a,b]-c-[c,d]-[a,c,d]-[c,d]-a
a- [a,b]-c-[c,d]- ¬b - x - a
Поиск образца с допустимым уровнем искажений:
abcdab – abddab – abcdcb – abccdab – abcdab
Поиск множества образцов
Комбинации задач (например, поиск множества образцов, позиции которых заданы множествами символов)
Образцы с переменными. X ∈ Σ*.
P = abXXcX : abcccc; ababbabbcabb
Параметризованные образцы. 2 алфавита: Σ и Π:
Образцы π-согласованы, если ∃ f : Π → Π
Σ = {a,b,c}; Π = {X, Y, Z, T}
abcXbbYYccZ и abcZbbXXccT

P2, … Pz}. Требуется обнаружить все вхождения в текст

Т любого образца из P.
i-й образец Pi = pi1pi2… pi,mi имеет длину mi; pi,j∈Σ.
Текст T = t1 t2 … tN, tk ∈ Σ, 1≤ k ≤ N.
Это обобщение называют множественной задачей точного поиска или задачей поиска по групповому запросу
Наивный алгоритм решает эту задачу путем поиска каждого образца из набора с использованием любого из рассмотренных выше линейных алгоритмов. Такой поиск имеет трудоемкость O(zN + ∑imi).
Эффективный алгоритм решения этой задачи имеет трудоемкость O(N + ∑imi).

образцов
Этап поиска: однократный "прогон" текста через этот автомат.

Этап предобработки.

Сначала строится "машина идентификации цепочек" Mp. Работа машины Mp описывается тремя функциями: функцией переходов φ(s,a) (s – состояние машины, a ∈Σ),
функцией отказов f(s)
и функцией выходов o(s).

s ребро, помеченное символом "a" и связывающее состояния s

и s'; в противном случае φ(s,a) = «fail» = −1
Пример. Пусть Σ = {a,c,g,t}; P = {acgaсc, tccga, accggt, acgt, acc, tggt};
φ(7, g) =17; φ(3, a) = 4;

1

2

3

4

6

5

9

8

7

10

17

13

11

15

12

14

16

0

a

с

a

g

c

c

t

g

c

c

c

a

g

g

t

t

19

18

g

g

t

f(s_pred) = s".
Metka : Если φ(s'',a) fail, то

f(s)= φ(s'',a); o(s) := o(s) ∪ o(f(s)) ,
иначе s" := f(s"); goto Metka.
Порядок построения: по уровням дерева (структура «очередь»).
Пример. Пусть Σ = {a,c,g,t}; P = {acgatc, tccga, accggt, acgt, acc, tggt}; o(6)={1,4};
f(6) =12; f(2) = 0; f(16) = 7;

1

2

3

4

6, 12

5

9

8

7

10

17

13

11

15

12

14

16

0

a

с

a

g

c

c

t

g

c

c

c

a

g

g

t

t

19

18

g

g

t

их прочтения и использованию переименований:
Повтор (в широком смысле) ─

пара фрагментов текста, совпадающих с точностью до переименования элементов алфавита и (или) изменения направления считывания.
Типы повторов:
– прямые : … AGTTC … AGTTC…
– симметричные: … AGTTC … CTTGA…
– с точностью до подстановки на элементах алфавита: секвентные переносы в музыке; замены 0 ↔ 1; A ↔ T, C ↔ G.
– прямые комплементарные: … AGTTC… TCAAG…
– инвертированные: … AGTTC… GAACT…

– признак ошибки.
Мелодические обороты.

В ДНК-последовательностях:
Участки с аномальным нуклеотидным составом:

(A,T)-богатые…
Участки микросателлитной ДНК: периодичности с малой длиной периода (2-3) и достаточно высокой кратностью повторений.
Тандемные повторы с произвольной длиной периода.
Разнесенные повторы значительной длины.
Мобильные элементы

… AGTTC…

и несовершенные (с заменами, вставками, делециями):
… AGTTC …

AATTC … (замена),
… AGTTC … AGTTTC… (вставка),
в том числе с точностью до агрегирования:
… AGTTC … GATСT …
(совпадают при заменах {A,G} → Pu, {C,T} → Py).

Классификация повторов

различать повторы
разнесенные

… AGTTC … AGTTC…

тандемные … AGTTC AGTTC…

с наложением : … AGTTCAGTTCAGTTC …

Классификация повторов

текста.

Пусть
Σ – конечный алфавит;
S – текст, составленный из элементов Σ;
N = | S | – длина текста;
S [i] = si – i-й элемент текста S (1 ≤ i ≤ N);
S [i : j] – фрагмент текста, включающий элементы с i-го по j-й (1 ≤ i < j≤ N).
l-грамма – связная цепочка текста длины l (S [i : i + l – 1]).
S = s1 s2 s3 s4 s5 … sN

Полное число l-грамм: N – l + 1.
Число различных l-грамм: Ml ≤ N – l + 1.

элементов Φl(S)= {φ l1, φ l2, …, φ l

Ml }
где φ l i (1 ≤ i ≤ Ml) есть пара :
« i-я l-грамма – xi , ее частота в тексте – Fl (xi) ».
 
lmax(S) – наибольшее l, при котором в S есть повторяющиеся
l-граммы.
Совокупность частотных характеристик
Φ (S) = {Φ1(S), Φ2(S),…, Φ l max + 2 (S)}
называется полным частотным спектром текста S.

Усеченный спектр
Φ *(S) = {Φ*1 (S), Φ*2 (S),…, Φ* l max (S)}
Φ*l (S) отличается от Φ l (S) отсутствием l-грамм с единичной частотой встречаемости.

= {Φ*1(S), Φ*2(S), Φ*3(S)}, где

Φ*1(S) = {

(a) = 4>; ; };

Φ*2(S) = {; ; };

Φ*3(S) = {};
 
Для повторов значительной длины спектр можно дополнить позиционной информацией.

— длина максимального повтора в тексте.
Для случайного текста

длины N с вероятностями появления элементов алфавита pr (1 ≤ r ≤ n = | Σ |) можно пользоваться оценкой: .

Если реальная длина lmax в тексте существенно превышает ожидаемое значение, это свидетельствует о наличии дупликативных механизмов порождения текста.
Ml — размер словаря l-грамм.
Он фигурирует в определении комбинаторной сложности текста.
— максимальное значение частот встречаемости
l-грамм в тексте (1 ≤ l ≤ lmax);
  — минимальное значение частот встречаемости
l –грамм в тексте (1 ≤ l ≤ lmax); представляет интерес лишь при малых значениях l; при больших, обычно Flmin = 1.

встречается в тексте ровно k раз (k = 1,2,…,N

– l + 1); зависимость Elk от k при фиксированном l является аналогом известной в лингвистике кривой Юла;
Ml − El1 — число различных повторяющихся l-грамм;
El0 — число l-грамм, ни разу не встретившихся в тексте. Наличие таковых в ситуации, когда N / nl >> 1, можно трактовать как аномальный эффект.
 
Имеют место простые соотношения, связывающие основные параметры:


, , El0 = nl − Ml .

порядок слов u = u1… up и v =

v1…vq :
u ≤ v, если u = v или (∃ j, такое что uj < vj и ui = vi ∀ i < j) или (p < q и для всех i ≤ p ui = vi).
Пример. S = abcdabcbcbabcd; l = 3;
abc f(abc) = 3 аналог для произвольного l -
abc суффиксный массив
abc
bab
bcb f(bcb) = 2
bcb
bcd f(bcd) = 2
bcd
cba
cbc
cda
dab

∈ K.
На множестве ключей K задано отношение порядка —линейного (или совершенного) упорядочивания, для которого выполнены

следующие условия:
закон трихотомии: для любых x,y ∈ K  либо x < y, либо x > y, либо x = y;
транзитивность: для любых x,y, z ∈ K если x < y  и y < z, то x < z.
Задачей сортировки по неубыванию является нахождение перестановки элементов p(1), p(2), … p(n)  при которой ключи располагаются в порядке неубывания: kp(1) ≤ kp(2) ≤ … ≤ kp(n).
В результате работы алгоритма и применения перестановки получается отсортированный массив: ap(1), ap(2),… , ap(n)
Аналогично можно определить сортировку по невозрастанию.

текущем списке
производим обмен этого значения со значением первой неотсортированной

позиции (обмен не нужен, если минимальный элемент уже находится на данной позиции)
сортируем хвост списка, исключив из рассмотрения уже отсортированные элементы
5 9 4 7 2 4 1 6
1 9 4 7 2 4 5 6
1 2 4 7 9 4 5 6
1 2 4 7 9 4 5 6
1 2 4 4 9 7 5 6
1 2 4 4 5 7 9 6
1 2 4 4 5 6 9 7
1 2 4 4 5 6 7 9

и, если порядок в паре неверный, выполняется обмен элементов.

При каждом проходе алгоритма по внутреннему циклу, очередной наибольший элемент массива ставится на своё место в конце массива рядом с предыдущим «наибольшим элементом», а наименьший элемент перемещается на одну позицию к началу массива («всплывает»).
Первый цикл: второй цикл третий цикл четвертый цикл
5 9 4 7 2 4 1 6 5 4 7 2 4 1 6 9 4 5 2 4 1 6 7 9 4 2 4 1 5 6 7 9
5 4 9 7 2 4 1 6 4 5 7 2 4 1 6 9 4 2 5 4 1 6 7 9 2 4 4 1 5 6 7 9
5 4 7 9 2 4 1 6 4 5 7 2 4 1 6 9 4 2 4 5 1 6 7 9 2 4 1 4 5 6 7 9
5 4 7 2 9 4 1 6 4 5 2 7 4 1 6 9 4 2 4 1 5 6 7 9 пятый цикл
5 4 7 2 4 9 1 6 4 5 2 4 7 1 6 9 2 1 4 4 5 6 7 9
5 4 7 2 4 1 9 6 4 5 2 4 1 7 6 9 шестой цикл
5 4 7 2 4 1 6 9 4 5 2 4 1 6 7 9 1 2 4 4 5 6 7 9

его последовательно сравнивают с нижестоящими узлами. Если элемент >=

корня - он идет в правое поддерево, сравниваем его уже с правым сыном, иначе - он идет в левое поддерево, сравниваем с левым, и так далее, пока есть сыновья, с которыми можно сравнить. 44 55 12 42 94 18 06 67

44

55

44

44

55

12

44

12

55

42

44

12

55

42

94

44

55

42

94

12

18

44

55

42

94

12

18

6

44

55

42

94

12

6

18

67

массива не превосходит некоторое натуральное m:
Организовать m пустых  очередей по одной для

каждого натурального числа от 1 до m. Каждую такую очередь называют черпаком.
Просмотреть последовательность А слева направо, помещая элемент  ai в очередь с номером ai.
Сцепить эти очереди, т.е. содержимое (i+1)-й очереди приписать к концу i-й очереди (i=1,2,... m-1), получив тем самым упорядоченную последовательность.
Пример: 1 3 2 5 2 5 1 2 1 5 4 3 4 5. Просмотрели 5 элементов
1: 1
2: 2 2
3: 3
4:
5: 5

массива не превосходит некоторое натуральное m:
Организовать m пустых  очередей по одной для

каждого натурального числа от 1 до m. Каждую такую очередь называют черпаком.
Просмотреть последовательность А слева направо, помещая элемент  ai в очередь с номером ai.
Сцепить эти очереди, т.е. содержимое (i+1)-й очереди приписать к концу i-й очереди (i=1,2,... m-1), получив тем самым упорядоченную последовательность.
Пример: 1 3 2 5 2 5 1 2 1 5 4 3 4 5 : 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 5 5
1: 1 1 1
2: 2 2 2
3: 3 3
4: 4 4
5: 5 5 5 5

позиции l
Полученный список сортируем по позиции l – 1
…

Полученный список сортируем по позиции 1
Пример: abcdabcbcbabcd; l = 3;
abc
bcd
cda
dab
abc
bcb
cbc
bcb
cba
bab
abc
bcd

позиции l
Полученный список сортируем по позиции l – 1
…

Полученный список сортируем по позиции 1
Пример: abcdabcbcbabcd; l = 3;
abc, bcd, cda, dab, abc, bcb, cbc, bcb, cba, bab, abc, bcd;
Сортировка по 3-й позиции:
a: cda, cba
b: dab, bcb, bcb, bab
c: abc, abc, cbc, abc
d: bcd, bcd
Список l-грамм после первого этапа:
cda, cba, dab, bcb, bcb,bab, abc, abc, cbc, abc, bcd, bcd

Сортировка по 2-й позиции:
a: dab, bab
b: cba, abc, abc, cbc, abc
c: bcb, bcb, bcd, bcd
d: cda
Список l-грамм после второго этапа:
dab, bab, cba, abc, abc, cbc, abc, bcb, bcb, bcd, bcd, cda
Сортировка по 1-й позиции:
a: abc, abc, abc
b: bab, bcb, bcb, bcd, bcd
c: cba, cbc, cda
d: dab
Список l-грамм после 3 этапа:
abc, abc, abc, bab, bcb, bcb, bcd, bcd, cba, cbc, cda, dab

Хеширование – отображение, которое ставит в соответствие произвольной l-грамме

текста xi (1≤ i ≤ N – l + 1) число h(xi), (адрес, по которому хранится информация об xi).
Пример простейшего отображения – представление l-граммы xi = ai1ai2… ail, где aij ∈ Σ (j = 1 ÷ l) в q-ичной системе счисления, где q = | Σ |.


(0 ≤ ki ≤ q – 1).
Недостаток этого отображения – большой (порядка | Σ |l ) диапазон изменения чисел h1(xi) (сильно разреженный массив адресов).
Достоинство – отображение h1 взаимно-однозначное и достаточно просто вычислимо.
Трудоемкость «рекуррентного хеширования» — O(N).

достигнут, если сузить диапазон изменения возможных значений h(x).

Для этого:

а) отказаться от требования однозначности функции расстановки h(xi),

в) разделить «наложившиеся» объекты с помощью специальной техники (открытая адресация, перехеширование, использование списковых структур и т.д.).

Пример функции расстановки, допускающей наложения:
h2(xi) = h1(xi) mod M
M - простое число (размер поля).

Расстановочное

Дополнительное
ционный поле поле (ДП)
массив

x – префикс v, z – суффикс, y –

подслово. Оптимальные алгоритмы отыскания совершенных повторов основаны на построении префиксного дерева, суффиксного дерева или графа подслов текста (DAtG).
Первая конструкция разработана Вайнером (teiner P., 1973), вторая − Мак-Крейгом (McCreight, 1976), третья − (A.Blumer, J.Blumer, A.Ehrenfeucht, et al., 1984). Все конструкции функционально эквивалентны и реализуются за линейное (в зависимости от длины текста) время с линейными затратами памяти.

Префикс−идентификатор pr(i) позиции i в тексте T − кратчайшее подслово, начинающееся в позиции i и встречающееся в T # только один раз (# - конечный маркер).
Префиксное дерево = дерево префикс-идентификаторов.

pr(i)
ab

bacbc
acbc
cbc
bc
cba
bacb#
acb#
cb#
b#
#

b

11

#

c

6

9

4

1

3

8

2

7

5

10

a

a

a

b

b

b

b

c

c

c

c

c

c

#

#

#

#

b
11
#
c
6
9
4
1
3
2
7



5
10
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
c
c
#
#
#
#
abacbcbacb#

8
1,3,8



3,8
2,5,7,10

3,8

2,7
2,7
2,7




4,6,9
4,6,9

suf(i)
abaсbcbacb#
baсbcbacb#
aсbcbacb#

сbcbacb#
bcbacb#
cbacb#
bacb#
acb#
cb#
b#
#

b

11

#

6

9

4

1

3

8

2

7

5

10

a

b

b

c

c

c

c

#

#

#

c

b

b

a

c

#

b

b

a

a

c

c

b

#

#

a

c

c

c

c

b

b

a

b

#

#

#

#

b

b

b

b

a

c

c

c

a

a

b

b