Презентация на тему Арифметические основы ЭВМ

знаков и правил их запи-си, применяемая для однозначного изображения

Определение 2. Под системой счисления пони-мается способ представления любого числа посре-дством некоторого алфавита символов, называ-емых «цифрами».

Определение 3. Системой счисления называют систему приемов и правил, позволяющих устано-вить взаимно однозначное соответствие между любым числом и его представлением в виде коне-чного числа символов, называемых «цифрами». 

для записи чисел (цифры, знаки);
 • Способ записи чисел;
 • Однозначность

(44)10 .
Два числа состоят из одинаковых цифр (L

цифры данного разряда в числе. Фактически, вес разряда представляет

i-го разряда определяется в виде:
Vi = Si .
Основание системы

доказывается, что оптимальной (с точки зрения затрат оборудования на

В отношении данных достаточно широко используется термин «аппаратная

принято относить логические значения и символьные данные.
Для логических значений

логических команд, таких как: 
AND – поразрядная конъюнкция (логическое И);
OR

используется код ASCII – American Standard Code for Information

элемента строки длиной в байт, слово или двойное слово,

на уровне арифметических команд, таких как:
ADD – сложение;

Десятичные числа
 
Десятичные числа используются в ЭВМ на этапе ввода исходных данных или этапе вывода резуль-татов для поддержки удобного интерфейса с поль-зователем.

форме, в связи с чем их часто называют двоично-десятичными

из двух форматов:
  •

В упакованном формате в каждом байте числа содержатся две десятичные цифры. Обычно упакованный формат называют BCD-форматом (Binary Coded Decimal).

В неупакованном (распакованном) формате в каждом байте числа представляется только одна десятичная цифра. Типичным примером неупако-ванного формата является представление десятич-ных цифр в коде ASCII.

будем называть ASCII-форматом. В данном формате для представления десятичной

Пример.
Представить число 90345 в BCD и ASCII- форматах.

результатов десятичные числа представляются в ASCII-формате. Их преобразование в

(с фиксированной запятой и с пла-вающей запятой) практически в

обработки данных в ЭВМ возможно применение одной из двух

небольших объемах перерабатываемых данных и достаточно большом объеме вычислений

обрабатываемых дан-ных и небольшом объеме вычислений, приходя-щихся на каждую

Аппаратная поддержка второй схемы обработки данных в ЭВМ предполагает наличие в составе процессора помимо традиционного двоичного АЛУ еще и десятичного АЛУ. Использование по-добных АЛУ характеризуются ЭВМ, относящиеся к классам Main Frame. В ПК и рабочих станциях на базе практически всех современных процессоров десятичное АЛУ отсутствует.

числа
  Основной особенностью представления целых знаковых чисел является использование

[ X ]пр = 1.1101=24+13=29
 
[ X ]доп =

Основными форматами, в которых представляются целые числа, являются:
  1 байт ;
2 байта – слово;
4 байта – двойное слово;
8 байтов – учетверенное слово.

2n-1-1

Диапазон представления беззнаковых целых чисел
 0 ≤ Абзн ≤ 2n – 1
00…0 11…1
n n

≤ 255

Диапазон представления дробных чисел
 
Для правильной n-разрядной

чисел с плавающей запятой имеются три части:
• знак (представляется

• мантисса (представляется в виде правильной или неправильной двоичной дроби);

• порядок (представляется в общем случае как целое число со знаком).

С учетом этих частей значение числа с плавающей запятой представляется в виде:
Апз = (-1)signA• MA• SPA
signA – знак; PA – порядок числа;
MA –мантисса числа А; S – основание порядка.

современных ЭВМ
Классы ЭВМ:
 • Универсальные ЭВМ – Mainframe (MF), такие

• Мини ЭВМ, такие как:
DEC: PDP-11; VAX-11;
Модели CM ЭВМ: СМ 1- СМ 4; СМ 1420,…

• ПК (например, на базе процессоров Intel 80X86, Pentium). Стандарт IEEE 754

знака числа.
 2. Порядок числа представляется со смещением как целое

3. В качестве основания порядка используются:
1. Универсальные ЭВМ – S = 16;
Классы: 2. Мини ЭВМ – S = 2;
3. ПК – S = 2.

4. В целях повышения точности в основном используются нормализованные числа с плавающей запятой.

старшая цифра его мантиссы является значащей (не 0).

5. Мантисса чисел в классах универсальных ЭВМ и мини ЭВМ является правильной дробью, а в стандарте IEEE – неправильной.

6. Использование в качестве основания порядка S=2 и использования в основном нормализован-ных чисел в мини ЭВМ и ПК требует, чтобы
старшая цифра мантиссы была равна 1. Старшая единица мантиссы с целью увеличения точности в формате не представляется, а лишь подразуме-вается, и называется скрытым разрядом (скрытой единицей).

представления и скоростью обработки данных в ЭВМ используется несколько

• короткий формат (формат одинарной точ-ности) - 32 разряда;

• длинный формат (формат двойной точ-ности) – 64 разряда;

• расширенный формат (формат расширенной точности) :
для MF и Мини ЭВМ – 128 разрядов;
для IEEE – 80 разрядов.
В классах MF и Мини ЭВМ увеличивается разряд-ность мантиссы, в стандарте IEEE – и мантиссы и порядка.

модуля нормализо-ванного числа.
MAmin SPAmin ≤ ‌‌‌‌‌‌‌‌| Aп.т. норм ‌‌‌‌‌‌‌‌|

смещение порядка.


Характеристика: 0 ≤ XA ≤ 225;
Порядок: -128 ≤

Cтандарт IEEE
S = 2;
d = 127 – для короткого формата;
d = 1023 – для длинного формата;
d = 16383 – для расширенного формата.

формате, в расширенном формате она представляется в явном виде.
 При

Крайние значение характеристики (порядка) во всех форматах зарезервированы и для представ-ления нормализованных чисел не используются. Максимальное значение характеристики при знаке + и нулевой мантиссе зарезервировано для +∞ и для представления не чисел (NAN).

мантиссы используется для представления - ∞.
Минимальное значение характеристики исполь-зуется

Поэтому диапазон характеристики
для короткого формата: 1 ≤ XA ≤ 254;
диапазон чисел: 2-126 ≤ ‌‌‌‌‌‌‌‌| Aп.т. норм ‌‌‌‌‌‌‌‌| < 2128.
для длинного формата: 10-308 ≤ ‌‌‌‌‌‌‌‌| Aп.т. норм ‌‌‌‌‌‌‌‌| < 10308.
для расширенного формата:
10-4932 ≤ ‌‌‌‌‌‌‌‌| Aп.т. норм ‌‌‌‌‌‌‌‌| < 104932

виде бесконечной двоичной дроби, что в условиях ограниченного формата

где n- разрядность числа.

мантиссы как дробного числа.

чисел для различных типов машин
  ЕС: δАп.т. = 16

Методы округления чисел с плавающей точкой
Округление производится для повышения точности представления чисел.
Методы округления оговариваются стандартом IEEE 754.

разряды отбрасываются;
• Округление к ближайшему – анализируется старший отбрасываемый

• Округление к ближайшему большему (округление к + ∞)- для положительных чисел 1 добавляется в младший разряд мантиссы, для отрицательных чисел мантисса не меняется.

• Округление к ближайшему меньшему (округление к -∞) – для отрицательных чисел единица добавляется в младший разряд мантиссы.

относительную погрешность. По умолчанию используется метод округления к ближайшему.
Регистр

нем фиксируется перенос из старшего разряда при сложении и

• (PF) Parity Flag – флаг паритета (четности). Устанавливается в единицу при наличии четного числа единиц в младшем байте результата, в противном случае - сбрасывается.. PF используется в качестве аппаратной поддержки контроля по четности.

переноса, в котором фиксируется межтетрадный перенос при сложении и

• (ZF) Zero Flag – флаг нуля, устанавливается при нулевом значении результата, в противном случае сбрасывается.

• (SF) Sign Flag – флаг знака, в котором копируется старший разряд результата.

командах сложения и вычитания, если результат не помещается в

Выполнение арифметических операция в ЭВМ

с младшего разряда, с учетом возникающих межразрядных переносов.
Pi-1 –

= 49.
А>0, B>0.

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

= 96.

7 0

+

+

+

+

+

+

А

7 0

+

+

+

+

+

+

случае, если операнды имеют одинаковые знаки. Переполнение фиксируется тремя

 • сравнение знаков операндов и суммы: если знак суммы отличается от знаков операндов, то фиксируется переполнение;

• сравнение переносов из двух старших разрядов: если они не совпадают, то фиксируется переполнение;

 • использование модифицированного знака (под знак отводится два разряда, второй разряд дублирует знак).

проводить двумя способами:
Сведение вычитания к сложению, заменяя операнд В

Пример.
Для заданных чисел А и В выполнить операцию знакового вычитания со всеми комбинациями знаков операндов.

разряда;
ri – разность;
Zi – заем в i-й разряд из

1. А = 67, В = 51.
[А]пр.=0.1000011
[В]пр.=0.0110011

знаках операндов.
О переполнении можно судить по одному из

в ЭВМ

Умножение двоичных чисел состоит в последова-тельном умножении множимого

Пример.
А = 13, В = 11.

0 1

х

х

Второй способ: 1 1 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 0 1
1 1 0 1
_________ 1 1 0 1
1 0 0 0 1 1 1 1

либо совпадает с множимым, либо равно нулю;
• формируемые частные

• частное произведение можно формировать, начиная как от младших, так и от старших разрядов множителя;

• для результата умножения требуется количество цифр, равное сумме количества цифр операндов. Если операнды имеют одинаковое количество цифр, то для суммы потребуется 2n разрядов.

устройстве для умножения двоичных чисел должен использоваться многоразрядный двоичный

множителя. Если он равен 1, то на этом шаге

3. Каждый шаг умножения должен сопровождать-ся сдвигом суммы частных произведений (СЧП) от-носительно неподвижного множимого, или наобо-рот: сдвиг множимого относительно неподвижной СЧП;

4. Умножение можно начинать как с младших, так и со старших разрядов множителя;

реализуется как сдвигающий, это дает возможность анализировать только один

6. Для фиксации завершения операции в операци-онном устройстве умножения должен быть ис-пользован счетчик (inc или dec), который считает количество разрядов множителя;

и с младших разрядов (то есть сдвигается мно-жимое или

Способы (схемы) реализации умножения в ЭВМ
 • начиная от младших разрядов множителя со сдвигом множимого влево;
• начиная от младших разрядов со сдвигом СЧП вправо;
• начиная от старших разрядов со сдвигом множимого вправо;
• начиная от старших разрядов со сдвигом СЧП влево.

для его представления требуется два n-разрядных регистра.
2. Для схем

3. В схемах умножения, начиная от старших разрядов со сдвигом множителя вправо, необходимо использовать 2n-разрядный регистр.

4. Для схем умножения, начиняя от старших разрядов со сдвигом СЧП влево, требуется 2n-разрядный регистр для хранения суммы СЧП.

со сдвигом СЧП вправо, требуется n-разрядный регистр.
В целях

позволяет не переводить отрицательные числа в прямой код и

Умножение в дополнительных кодах с применением коррекции.
Правильный результат получается только при положительных операндах.
С = [Aпр.]×[Bпр.]

[2n - |A|]·[Bпр.] = 2n ·Bпр. - |A| ·Bпр.
Должно

При A>0, B<0: Апр.· [2n - |В|] = 2n · Апр - Апр·|В|

Должно быть: C = 22n - Апр·|В|

При A<0, B<0: (2n - |A|)·(2n - |В|) =
= 22n - 2n·|В| - 2n·|А| + |A| · |В|

Должно быть: C = |A| · |В|

вычитании множимого из старших разрядов СЧП, которое может быть

2, При отрицательном множимом коррекция проводится во время умножения и сводится к модифицированному сдвигу СЧП (при сдвиге СЧП вправо в свободный разряд заносится единица).

Примечание. В случае отрицательного множимого (A<0,B>0) при умножении на младшие нули проводится обычный (не модифицированный) сдвиг – в свободный разряд заносится 0.

разряд знаковый и семь – цифровых) выполнить операцию умножения

B

1.1111 [Bпр.] = 1.1101
[Aдоп.] =

без применения коррекции.
Метод Бута.
 Особенности метода.
Сложение или вычитание множимого

происходит вычитание множимого из СЧП. При изменении младшего разряда

Если младший разряд множителя не изменился, то производится только сдвиг. При реализации этого метода происходит чередование сложения и вычитания, поэтому старший разряд СЧП в явном виде представляет его знак. При сдвиге знак СЧП сохраняется.
Эффективность метода Бута по сравнению с обычным методом поразрядного умножения проявляется для тех множителей, в которых имеются длинные последовательности единиц.

При умножении на младшие нули осуществляется только сдвиг нуле-вой

Пример. А =11, В = 15, n = 5.
 
[Aпр.] = 0.1011 [Bпр.] = 0.1111
[Aдоп.] = 1.0101 [Вдоп.] = 1.0001
 
а) А>0, B>0:

ЭВМ
 Особенности двоичного деления
Пример. А = 130, В = 10.
А/В

0 | 1 0 1 0
1 0

деления:
1) Процесс деления сводится к последовательному вычитанию делителя

2) На начальном шаге делитель совмещается со старшими разрядами делимого, а затем на каждом шаге делитель сдвигается на одну позицию (раз-ряд) вправо относительно неподвижного текущего остатка. На последнем шаге делитель совмещается с младшими разрядами текущего остатка.

знаком текущего остатка. Для остатка большего или равного 0

4) О знаке текущего остатка можно судить по наличию или отсутствию заема в старший разряд при вычитании. Если заем есть, то результат вычитания (т.е. текущий остаток) отрицателен. Если заем отсутствует, то результат вычитания и, соответственно, текущий остаток не отрицателен.

перед переходом к следующему шагу необходимо выполнить восстановление остатка

Особенности реализации целочисленного деления в ЭВМ

• Т.к. операция деления является обратной по отношению к умножению, а результат сложения n-разрядных сомножителей представляется в 2n-разрядном формате, то делимое по сравнению с делителем так же должно представляться в удвоенном формате.

частное, но и остаток. Операция деления с остатком должна

операции деления осуществляется не сдвиг дели-теля вправо относительно неподвижного

«метод деления с восстанов-лением остатка». В целях экономии времени

оста-ток Ri

а) По методу с восстановлением остатка:
Ri+1 = (Ri + В)·2 – В = 2Ri + 2В – В = 2Ri + В
(Ri + В) – сложение с делителем;
(Ri + В)·2 – сдвиг влево на 1 разряд;
(Ri + В)·2 – В – вычитание делителя.

б) По методу без восстановления остатка:
Ri+1 = 2Ri + В
2Ri – сдвиг отрицательного остатка влево;
2Ri + В – сложение с делителем.

может оказаться, что частное не поме-щается в формат делителя.

реализуется по общим принципам, описанным ранее. Это означа-ет, что

Проверка корректности беззнакового деления
Для n-разрядного делителя и, следовательно, n-разрядного частного условие корректности принимает вид: А/B ≤ 2n – 1 => A/B < 2n
A < B · 2n
A - B · 2n < 0

беззнакового деления необходимо произвести вычитание делителя из старших разря-дов

13, С = 10, R = 11.
Минимальный формат

первого) цифры частного помещаются в освобождающийся при сдвиге влево

осуществляется проверка коррек-тности деления, поэтому на данном шаге никакой

Пример фиксации некорректности деления.
 А = 141, В = 8.

некорректности деления будет иметь место и при В

Возможные модернизации метода деления
1. Для явного представления знака остатка можно использовать дополнительный старший бит как в регистре остатка, так и в сумматоре-вычитателе. Следует иметь в виду, что при сдвиге остатка влево может произойти искажение старшего бита остатка, интерпретируемого как знаковый. В связи с этим действия на очередном шаге алгоритма деления следует определять значением знакового бита остатка до сдвига, а не после.

можно заменить операцией сложения с его дополнительным кодом.
В процессорах

Деление знаковых чисел
Аналогично операции умножения знаковое деление может быть реализовано одним из двух методов:
• метод деления в прямых кодах;
• метод деления в дополнительных кодах.
 

предварительно преобразуются из дополнительного кода в прямой.
2. Деление модулей

3. Знак частного вырабатывается отдельным действием как сумма по модулю 2 знаковых разрядов операндов.

4. Знаку остатка присваивается знак делимого. Иск-лючением из правил 3,4 является получение нуле-вого частного и(или) нулевого остатка, которым, независимо от знаков операндов, присваивается знак + (положительный ноль).

прямого кода в дополнительный.
6. Существенным отличием знакового деления в

Обоснование метода проверки
корректности деления 
В связи с тем, что старший бит n-разрядного делителя и, соответственно, частного отводится для представления знака, условие корректности для деления модулей операндов имеет вид:

|A| / |В| < 2n-1

2n-1 n n-1 0

|A|

|В| · 2n-1

1 бит

В целях однообразия выполнения пробного вычитания с основным циклом деления, в котором делитель разме-щается под старшими разрядами остатка, необходимо перед выполнением пробного вычитания сдвинуть дели-мое на один разряд влево и после этого произвести вычи-тание делителя из его старших разрядов.

частного, формируемые на каждом шаге, определяются не только знаком

2. Действие, выполняемое над текущим остатком на каждом шаге, определяется не только знаком остатка, но и знаком делителя. При их совпадении производится вычитание делителя из старших разрядов остатка, а при несовпадении – сложение делителя со старшими разрядами остатка. Вычитание делителя может заменяться сложением с его дополнительным кодом.

выработки всех цифр частного) в том случае, если знак

4. Коррекция частного выполняется только при отрицательном делимом и нулевом остатке и состоит в инкременте (увеличении на единицу) для положительного частного и декременте для отрицательного частного.

в прямых кодах только в случае положительных операндов. Для

Обоснование методов проверки корректности
1) А>0, B>0.
A/B < 2n-1 ;
A - B·2n-1 < 0.

2) А<0, B<0.
A/B < 2n-1 ;
A - B·2n-1 > 0.

одинаковых знаках делимо-го и делителя реализуется следующим образом:
а) выполняется

б) из старших разрядов сдвинутого делимого вычитается делитель;

в) знак полученного остатка сравнивается со знаком делимого. Если они совпадают, то деление некорректно, и операция завершается выходом на прерывание. Если знаки делимого и первого остат-ка не совпадают, то формируется старший разряд частного, интерпретируемый как знак, и осущест-вляется переход к основному циклу деления.

и любая его цифра, т.е. как результат сравнения знаков

3) A<0, B>0.
A/B ≥ - 2n-1;
A/B ≥ - 2n-1 – 1;
A + B·2n-1 + B > 0.

4) A>0, B<0.
A/B > - 2n-1 – 1;
A + B·2n-1 + B < 0.

Из полученных соотношений следует, что провер-ка корректности деления при разных знаках де-лимого и делителя выполняется в такой последо-вательности:

полученного остатка влево;
3. сложение делителя со старшими разрядами остатка;
4.

В со всеми комбинациями знаков, используя метод деления в

a) A<0; B<0.

(0.1010)2 = (+10)10
 и отрицательный остаток
 [B]доп = (1.0111)2 =

(1.0110)2 = (-10)10
и отрицательный остаток: [B]доп = (1.0111)2 = (-9)10,
соответствующие

Особый случай алгоритма 
Такой случай может иметь место только при отри-цательном делимом, нулевом остатке и четном частном. В этом случае получаемый окончатель-ный остаток оказывается не равным нулю, но не подлежит коррекции по общим правилам. Для устранения этого недостатка необходимо модернизировать предлагаемый алгоритм, расширив его на подобные ситуации.

(1.1110)2
[А]доп = (1.1011000)2

и вычитания
Рассмотрим основные нюансы операции сложения на примере для