Слайд 2
Синус, косинус, тангенс суммы и разности аргументов.
Формулы двойного
аргумента.(теорияФормулы двойного аргумента.(теория, примеры, задания)
Формулы понижения степени.
Преобразование сумм
тригонометрических функций в произведения.
Преобразование произведений тригонометрических функций в суммы.
Преобразование выражения Asinx+Bcosx к виду Csin(x+t)
Учебные элементы
Слайд 3
Sin 2x = 2 sin x cos x
Синус
двойного аргумента
Доказательство.
Рассмотрим выражение sin 2x.
Sin 2x = sin (x+x)
= sin x cos x + cos x sin x=
= 2sin x cos x.
Тождество доказано.
Слайд 4
Cos 2x = cos2 x – sin2
x
Косинус двойного аргумента
Доказательство.
Рассмотрим выражение cos 2x.
cos 2x = cos
(x+x) = cos x cos x - sin x sin x= cos2 x – sin2 x.
Тождество доказано.
Слайд 5
Тангенс двойного аргумента
Доказательство.
Рассмотрим выражение tg 2x.
Тождество доказано.
Слайд 6
Примеры
Доказать тождество 1+sin 2x = (cos x +
sin x)2
Решение.
Воспользуемся тем, что 1=sin2x+cos2x, и формулой синуса двойного
аргумента. Получим,
1+sin 2x = sin2x + cos2x + 2 sin x cos x = (cos x + sin x)2
Слайд 7
Примеры
2. Сократить дробь
Решение.
В
числителе дроби воспользуемся тождеством 1+sin 2x = (cos x
+ sin x)2, а в знаменателе формулой косинуса двойного аргумента. Получим,
Слайд 8
Примеры
3. Вычислить
Решение.
Заданное
выражение представляет собой правую часть формулы косинуса двойного аргумента,
но только не хватает множителя 2. Введя его получим:
Слайд 9
Примеры
4. Доказать тождество
Решение.
Преобразуем левую часть доказываемого
тождества:
Умножив и числитель, и знаменатель последней дроби на 2,
получим:
Что и требовалось доказать.
Слайд 10
Примеры
5. Зная, что
и что
вычислить
Решение.
Значение cosx дано в условии, а значение sinx найдём следующим образом:
Это значит, что или
Аргумент х принадлежит четвёртой четверти, а в ней синус отрицателен. Это значит надо выбрать
Теперь можно вычислить sin2x:
Слайд 11
Примеры
5. Зная, что
и что
вычислить
Решение.
Воспользуемся формулой приведения:
Применим к выражению cos4x формулу косинуса двойного аргумента:
Из предыдущих примеров нам известны значения cos2x и sin2x.
Вычисляем:
Слайд 12
Примеры
6. Решить уравнение sin4x-cos2x=0
Решение.
sin4x-cos2x=0
2 sin2x cos2x
– cos2x=0
cos2x (2sin2x-1)=0
cos2x=0 или 2 sin2x-1=0
cos2x=0
Ответ:
2sin2x-1=0
Слайд 13
Задания. 1 блок.
1. Упростите выражение
Ответы: a) sintОтветы:
a) sint; b) costОтветы: a) sint; b)
cost; c) tgtОтветы: a) sint; b) cost; c) tgt; d) sin2t
2. Известно, что Найдите
Ответы: a)120/169Ответы: a)120/169; b) -120/169Ответы: a)120/169; b) -120/169; c) 150/333Ответы: a)120/169; b) -120/169; c) 150/333; d) 0
3. Решите уравнение
Ответы: a) b) c) d)
Слайд 14
Задания. 2 блок.
Вычислите
Ответы: a) 2Ответы: a)
2 b) 0Ответы: a) 2 b) 0 c) 1Ответы:
a) 2 b) 0 c) 1 d) -1Ответы: a) 2 b) 0 c) 1 d) -1
Слайд 15
Задания. 3 блок.
Решите уравнение 26sinx
cosx – cos4x +7=0
Ответы: a)
b)
c) d)
Слайд 16
Творческое задание.
Решите уравнение sin2x +
2sinx =2-2cosx
Слайд 17
Задания. 1 блок.
1. Упростите выражение
Ответы: a) sintОтветы:
a) sint; b) costОтветы: a) sint; b)
cost; c) tgtОтветы: a) sint; b) cost; c) tgt; d) sin2t
2. Известно, что Найдите
Ответы: a)120/169Ответы: a)120/169; b) -120/169Ответы: a)120/169; b) -120/169; c) 150/333Ответы: a)120/169; b) -120/169; c) 150/333; d) 0
3. Решите уравнение
Ответы: a) b) c) d)
Слайд 18
Задания. 2 блок.
Вычислите
Ответы: a) 2Ответы: a)
2 b) 0Ответы: a) 2 b) 0 c) 1Ответы:
a) 2 b) 0 c) 1 d) -1Ответы: a) 2 b) 0 c) 1 d) -1
Слайд 19
Задания. 3 блок.
Решите уравнение 2-cos2x+3sinx=0
Ответы:
a)
b)
c) d)
Слайд 21
Оценка:
Участники команды, набравшие больше 7 баллов
Участники команды,
набравшие от 5 до 7 баллов
Участники команды, набравшие ниже
5 баллов
Получают
получают
получают
Слайд 22
Древнегреческий поэт Нивей утверждал, что математику нельзя изучать,
наблюдая, как это делает сосед. Поэтому сегодня будем работать
самостоятельно.
Слайд 23
Историческая справка.
Тригонометрия – слово греческое и в
буквальном переводе означает измерение треугольников. Возникновение тригонометрии связано с
землемерением, астрономией и строительным делом. Хотя название науки возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны ещё две тысячи лет назад.
Слайд 24
ДИКТАНТ
Какой раздел математики вы изучаете?
Абсцисса точки,
лежащей на единичной окружности называется….?
Ордината точки, лежащей на
единичной окружности называется….?
sinπ/3= ? sin0=? сosπ/2=? cosπ/4=? sinπ/6=?
Отношение синуса к косинусу – это …..?
основное тригонометрическое тождество …..?
как можно еще представить 1 в виде других тригонометрических функций…..?
Математика – мой любимый предмет? (да/нет)
Слайд 25
Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между
сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами.
Позднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами начали называть тригонометрическими функциями.
Слайд 27
В заданиях, которые будут предложены, вам необходимо ответить
на вопрос «Знаете ли вы?»
К ответу даются «подсказки»:
-несколько вариантов и
-математическое задание, правильное выполнение которого указывает на нужный выбор.
Слайд 28
Знаете ли вы кто нашел зависимости между
сторонами и углами в треугольнике?
Имена ученых записаны в таблице
и закодированы. Определите имена этих ученых.
Слайд 29
Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые
, которые составили таблицы синусов и тангенсов.
Теорему синусов
уже знали индийский ученый Бхаскара (р. 1114, год смерти неизвестен) и азербайджанский астроном и математик Насиреддин Туси Мухамед (1201-1274).
Слайд 30
Знаете ли вы имя арабского ученого, составившего таблицу
синусов и тангенсов?
Оно записано в таблице:
Слайд 31
Число, записанное под названием имен арабских ученых, равно
количеству верных формул:
sin2x + cos2x = 1
sinx/cosx =
ctgx
1-sin2x = cos2x
tgx·ctgx = 1
sin2x – 1 = -cos2x
sin(-x) = sinx
1 + tg2x = 1 / sin2x
Слайд 32
SINX
Длительную историю имеет понятие синус, который встречается
уже в III веке до н.э. в работах великих
математиков Древней Греции – Евклида, Архимеда, Апполония Пергского.
Слайд 33
COSX
Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение
латинского выражения completely sinus, т. е. “дополнительный синус”.
Слайд 34
Tgx
Тангенсы возникли в связи с решением задачи об
определении длины тени. Тангенс (а также котангенс) введен в
Х веке арабским математиком Абу-ль-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь немецким математиком, астрономом Регимонтаном . Название «тангенс», происходит от латинского tanger (касаться).
Слайд 35
Решите примеры и определите год открытия функции
ТАНГЕНС.
