Слайд 2
Проблема: Решение логических задач методом рассуждений – принцип Дирихле.
Актуальность:
В интеллектуальных конкурсах и олимпиадах по математике в основном
логические задачи, для решения которых можно применить принцип Дирихле.
Гипотеза: Чтобы успешно решать логические задачи, нужно уметь выделять их общие признаки, подмечать закономерности, выдвигать гипотезы, проверять их, строить цепочки рассуждений, делать выводы.
Цели: исследование эффективности применения принципа Дирихле в решении задач интеллектуальных конкурсов и олимпиад, научиться решать задачи методом рассуждений по принципу Дирихле и уметь применять.
Задачи исследования:
1) Изучение литературы и сбор информации о принципе Дирихле .
2) изучение четырех формулировок решения задач по принципу Дирихле;
3) Отбор и систематизация задач, решаемых с помощью принципа Дирихле.
4) проведение эксперимента
Методы исследования:
1. Поисковый метод (сбор и изучение информации).
2. Обобщение теоретического материала.
3. Применение на практике.
Слайд 3
Введение.
Логическая задача – это особый вид
задачи, который развивает логику, образное и творческое мышление, поэтому
такие задачи являются основными заданиями интеллектуальных конкурсов по математике и олимпиад. Решение таких задач есть гимнастика ума и увлекательное занятие, поскольку для решения большинства из них требуется не только знание определенного программного материала, но и логическое мышление.
При решении многих задач используется логический метод рассуждения — "от противного". Предметом исследования данной работы являются логические задачи, решаемые с помощью принципа Дирихле.
Я хочу в своей работе рассмотреть — принцип Дирихле. Задачи на принцип Дирихле хороши тем, что порою не требуют для своего решения каких-нибудь дополнительных математических знаний. Чаще всего для решения достаточно умения четко логически строить свои рассуждения.
Слайд 4
Краткая биография Дирихле Петер Густав Лежен.
Дирихле Петер Густав Лежен (13. 02.1805–05.05. 1859) – немецкий
математик. Родился в Дюрене. В 1822-1827гг. был домашним учителем в Париже. Входил в кружок молодых ученых, которые группировались вокруг Ж. Фурье. В 1827 занял место доцента в Бреславе; с 1829 работал в Берлине. В 1831-1855гг. – профессор Берлинского университета, после смерти К. Гаусса (1855г.) – Гёттингенского университета. Сделал ряд крупных открытий в теории чисел
Слайд 5
Формулировка «Если в n клетках сидит m кроликов,
причем m >n, то хотя бы в одной клетке
сидят, по крайней мере, два кролика».
Например: 8 кроликов 6 клеток. В двух клетках по 2 кролика.
Доказывается данный принцип Дирихле методом доказательства от противного:
Пусть не найдется такой клетки, в которой сидят два кролика, тогда количество кроликов m должно быть меньше или равно количеству клеток n, что приводит нас к противоречию.
Слайд 6
Объяснение на примере :
В классе 15 учеников. Доказать,
что не менее двух учеников родились в один месяц.
Решение:
месяцев 12 – Клетки
учеников 15 – Кролики
Так как 15>12 то в клетках может оказаться что есть клетки в которых не менее 2 кроликов.
Слайд 7
Пример № 1
В мешке лежат шарики
двух разных цветов: черного и белого. Какое наименьшее число
шариков нужно вынуть из мешка вслепую так, чтобы среди них заведомо оказались два шарика одного цвета?
Решение. Ясно, что «кроликами» здесь являются шарики, а «клетками» - цвета: черный и белый. Достанем из мешка 3 шарика. Если бы среди этих шариков было не более одного шарика каждого из двух цветов, то всего было бы не более двух шаров – это очевидно, и противоречит тому, что мы достали три шарика (снова же, обратите внимание – использован метод от противного). С другой стороны понятно, что двух шариков может и не хватить.
Вариант 1 : 2 черных и 1 белый, Вариант 2: 2 белых и 1 черный
Слайд 8
. Пример:№ 1
В коврике размером 3х3
метров проделали 8 дырок. Доказать, что из него можно
вырезать коврик размером 1х1 метров , не имеющих дырок.
Решение:
Если разрезать коврик на 9 ковриков размером 1х1 метр. Количество ковриков «клеток» - 9, а количество дырок «зайцев» 8. Очевидно, что одна клетка останется пустой.
Ответ: один коврик размером 1х1 метров не имеет дырок.
Слайд 9
Пример
В магазин привезли 25 ящиков с
тремя разными сортами яблок (в каждом ящике яблоки только
одного сорта). Докажите, что среди них есть по крайней мере 9 ящиков с яблоками одного и того же сорта.
Решение. 25 ящиков-«кроликов» рассадим по 3 «клеткам»-сортам. Так как 25 = 3 ∙ 8 + 1, то применим обобщенный принцип Дирихле (для N = 3, k = 8) и получим, что в какой-то «клетке»-сорте не менее 9 ящиков.
Слайд 10
Примеры решения задач на применение принципа Дирихле.
1. Из
коробки, в которой находятся 4 красных и 3 синих
карандаша, наугад извлекают карандаши. Сколько надо взять карандашей, чтобы среди них было не менее одного синего? Ответ:5
2.В ящике 100 красных,100 белых,100 синих и 100 черных шаров. Какое наименьшее число шаров надо вытащить, не заглядывая в ящик, чтобы среди них было не меньше, чем 3 шара одного цвета? Ответ: Если наугад вытащить 8 шаров ( 2 красных+2 белых+2 синих+2 черных шара) если еще вытащить один шар, то получим 3 шара одного цвета. 9 шаров.
3.В школе обучается 370 учеников. Докажите, что среди учащихся этой школы обязательно найдутся хотя бы 2 ученика, отмечающие свой день рождения в один и тот же день.
Ответ: В году 366 дней , а учеников 370 . 370>366. Если каждый день- день рождения то 366 учеников , а у нас 370. Противоречие.
4.17 учеников команды «Комета» набрали 125 баллов. Докажите, что какие- то двое из них набрали равное количество баллов.
Ответ: да 17*7+ 6=125
5.В 26 пакетов разложили конфеты трех сортов. В каждом пакете конфеты только одного сорта. Докажите что в любом случае обязательно найдутся 8 пакетов, в которых окажутся конфеты одного сорта.
Ответ: 3 сорта –« клетки» пакеты – «кролики» 3*8+2=26.
6.В 6 клетках 8 зайцев. Докажите, что найдется клетка в которой находятся не менее 25% всех зайцев. Ответ: найдем 25% от 8 зайцев – 2 зайца. 6 клеток – 6+2 =8 зайцев.
Слайд 11
7. В классе 30 учеников сидят за 15
партами. Более половины учеников класса девочки. Докажите, что какие-то
2 девочки сидят за одной партой. Ответ: 15*2=30, а девочек больше половины.
8. Прямоугольник длиной 3 см, шириной 2 см разделен на квадратные клеточки со стороной 1 см. В клеточках записано множество букв, составляющих слово «транспортир». Докажите, что найдется хотя бы одна клетка, в которой записано не менее 2 букв. Ответ: в слове 11 букв , а клеток 6 . 11 >6 , да найдется.
9. В прямоугольнике 10 см х 4 см расположены 3 квадрата, каждый из них площадью 16 см2. Докажите, что найдутся хотя бы 2 квадрата , налагающих друг на друга. Ответ: 3х16=48, 48>40. Два квадрата налагаются друг на друга.
10. Квадрат со стороной 12 см разбит на квадратные клетки со стороной 4 см. В клетках отмечены 37 точек. Докажите, что найдется клетка, в которой отмечено не менее 5 точек. Ответ: 12*12=144, 4*4=16, 144/16=9 значит клеток – 9, 37 кроликов рассадим по клеткам 4*9+1=37, в одной клетке 5 кроликов.
11.На внутри школьной олимпиаде 14 учащихся решили 58 задач. Некоторые из них решили 2 задачи, некоторые 3 задачи, а некоторые 4 задачи. Докажите, что некоторые из учасников олимпиады решили не менее 5 задач. Ответ: 58-2-3-4=49, 14-3 ученика=11, 11*4+5=49.
12. В школе 24 класса, в которых учатся 764 учащихся. Доказать, что в школе есть классы в которых учатся не менее 32 учеников. Ответ: 24 класса –клетки, ученики 764 – кролики. 31*24 + 20 =744 то есть может быть 20* 32=640 и 4 класса по 31 ученику.
Слайд 12
13Прямоугольник с измерениями 4 см х 3 см
разделен на квадратные клеточки со стороной 1 см. Внутри
прямоугольника отмечены 13 точек. Докажите, что расстояние между некоторыми двумя точками меньше, чем 1 см. Ответ: 12 клеток в них размещаем 13 кроликов 12<13. Значит в одной клетке 2 точки и расстояние между ними меньше 1 см.
12 девочек собрали 61 яблоко. Докажите, что среди них есть девочки, которые собрали одинаковое количество яблок. Ответ: девочки клетки яблоки – кролики 12*5+1=61. Да
