Презентация на тему Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике. Некоторые выборочные задания с решениями

чисел равно 7920. Найти эти числа.

Ответ: 8, 9, 10,

11
Ответ школьник может и не обосновывать.
Найти ответ можно, например, так:
число 7920 не делится на 7.
Поэтому, все сомножители больше 7.
А произведение 9x10x11x12 слишком велико.

Критерии: 7 баллов - есть ответ.
0 баллов – ответа нет, или он ошибочный.

( с ненулевыми цифрами), каждое из которых при перестановке

его цифр становится меньше исходного не менее чем в три раза.

Ответ: 51, 61, 71, 81, 91, 92.
Если последняя цифра единица, то подходят только 51,61,71,81,91.
Если последняя цифра 2 , то подходит только 92.
Для других последних цифр таких чисел нет.

Критерии: 1 балл за правильный ответ без обоснования.
Внимание! Возможное правильное решение – полный перебор
всех (!) двузначных чисел, оценка за полный перебор–7 баллов.

такое девятизначное число, что между цифрами 1 и 2

стоит нечетное количество цифр, между цифрами 2 и 3 - также нечетное количество цифр, …, между цифрами
8 и 9 - также нечетное количество цифр?

все цифры, стоящие на нечетных местах

( их пять), и все цифры, стоящие на четных местах
( их четыре). Если бы указанное число в условии было бы возможно, то все девять цифр оказались бы на местах одной четности, что невозможно.

Критерии: За правильный ответ без обоснования баллов
не даётся.

таковы, что 28x+30y+31z=365. Какие значения может принимать сумма x+

y+ z ?
Ответ: 12
Значение 12 получается при x=1, y=4, z=7
(смотри календарь на год).
Если x+ y+ z 11, тогда 28x+30y+31z 31 11= 341.
Если x+ y+ z 13, тогда 28x+30y+31z 28 11+30+31= 369.

Критерии: За правильный ответ без обоснования - 1 балл.

восьмиугольника расставляют цифры от 1 до 9 ( каждую

по одному разу) так, чтобы суммы чисел вдоль всех больших диагоналей были одинаковы. Какие значения может принимать число в центре?
Ответ: 1, 5, 9
Понятно, что больших диагоналей 4. поэтому сумма цифр на их концах должна делиться на 4. Вся сумма девяти цифр – 45. Значит, вычитать ( ставить в центр) надо только числа, дающие остаток 1 при делении на 4. Необходимо привести способ расстановки восьми из цифр в каждом из трех вариантов.

Критерии: За правильный ответ без обоснования - 1 балл.
За неполный ответ с обоснованием (неполным) - 1 балл.

виде произведения двух трехзначных или остальных?
Ответ: остальных больше.
Решение. Заметим,

что всего существует 900000 шестизначных чисел и 900 трехзначных чисел. Подсчитаем общее количество чисел, представимых в виде произведения двух трехзначных чисел. Имеется не более
чисел, представимых в виде произведения двух различных трехзначных чисел, и еще 900, представимых в виде произведения двух одинаковых трехзначных чисел. Итого, получаем не более 405450 таких чисел. Шестизначных таких чисел будет еще меньше, т.е. меньше половины от всех шестизначных чисел.

Комментарий. Угаданный ответ без обоснования: 0 баллов.

его на длинной стене 2013 раз подряд без пробелов,

получив многозначное число. Могло ли оно делиться на 2013?
Ответ: Да, могло.
Решение. Заметим, что 2013=3·671. Если выписать 2013 раз подряд число 671, то полученное 6039-значное число будет делиться на 671. Кроме этого, сумма цифр этого 6039-значного числа равна (6+7+1)·2013=14·3·671 — делится на 3. Значит, по признаку делимости на 3, выписанное число делится и на 3. Поскольку 3 и 671 — взаимно простые, то оно делится и на их произведение.
Комментарий. Угаданный ответ без обоснования: 0 баллов.

минутная стрелка часов взаимно перпендикулярны?
Ответ: 44.
Решение. В сутки часовая

стрелка делает 2 оборота, а минутная 24. Отсюда минутная стрелка обгоняет часовую 22 раза и каждый раз с часовой стрелкой образуется по два прямых угла, т.е. ответ: 44.
Комментарий. Угаданный ответ без обоснования:
1балл.

и y выполнено неравенство.


Решение1. Пусть

. Умножим на (x-y):





Функция f монотонна, поэтому