Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.


Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация на тему Формула включений-исключений. Беспорядки

Доказательство. Возьмем элемент а А. В число, стоящее слева, этот элемент «вносит» единицу. Подсчитаем, какое число соответствует элементу в
§ 4. Формула включений-исключений. Беспорядки.Теорема 1 (формула включений-исключений).Пусть А = А1 А2…Аm Доказательство. Возьмем элемент а   А. В  число, стоящее слева, единиц, так как a входит во все пересечения такие, что Чтобы доказать теорему, осталось доказать равенство Но это равенство равносильно следующему : которое верно, так как является следствием бинома Ньютона при х = -1. Теорема доказана. Наиболее часто формулу включений-исключений применяют в несколько иной формулировке. Пусть имеется N Теорема 2. Пример. Вычислить количество натуральных чисел, не   превосходящих 100,  которые Определение 3. Пусть дано множество А = {1, 2, 3, …, n}. Теорема 4. Число беспорядков n-элементного множества равно Доказательство. Введем обозначения: N(i) – Пусть N(i1, i2, …, ik ) – количество перестановок, в которых числа Пример. Вернемся к предыдущему примеру. Непосредственным подсчетом мы выясним, что число беспорядков
Слайды презентации

Слайд 2 Доказательство. Возьмем элемент а А.
В

Доказательство. Возьмем элемент а  А. В число, стоящее слева, этот

число, стоящее слева, этот элемент «вносит» единицу.


Подсчитаем, какое число соответствует элементу в правой части доказываемого равенства. Если мы докажем, что оно также равно 1, то теорема будет доказана.
Пусть a входит в k множеств
Тогда в первое слагаемое элемент a «вносит» k единиц, во второе слагаемое


элемент а «вносит»



Слайд 3 единиц, так как a входит во все пересечения

единиц, так как a входит во все пересечения такие, что



такие, что и

содержат a;
число таких пересечений – число 2-х элементных подмножеств k-элементного множества, т.е.

В l-ое слагаемое a «вносит» единиц (l k). Если l > k, то a в такие пересечения уже не входит, те есть «вносит» в эти суммы 0. Таким образом a «вносит» в правую сумму следующее количество единиц:


Слайд 4

Чтобы доказать теорему, осталось доказать равенство


Но это

Чтобы доказать теорему, осталось доказать равенство Но это равенство равносильно следующему :

равенство равносильно следующему :


Слайд 5 которое верно, так как является следствием бинома Ньютона

которое верно, так как является следствием бинома Ньютона при х = -1. Теорема доказана.

при х = -1.
Теорема доказана.


Слайд 6 Наиболее часто формулу включений-исключений применяют в несколько иной

Наиболее часто формулу включений-исключений применяют в несколько иной формулировке. Пусть имеется

формулировке.
Пусть имеется N предметов, каждый из которых может

обладать или не обладать одним из свойств Р1, Р2, …, Рm.
Введем следующие обозначения:
N(Pi) – количество предметов, которые обладают свойством Pi,
- количество предметов, которые не обладают свойством Pi, причем не важно, обладают они или нет другими свойствами,
- количество предметов, которые обладают свойствами и не обладают свойствами , и т. п.


Слайд 7 Теорема 2.

Теорема 2.

Слайд 8 Пример. Вычислить количество натуральных чисел, не

Пример. Вычислить количество натуральных чисел, не  превосходящих 100, которые не

превосходящих 100, которые не делятся на 2, 3,

5.
Решение. N = 100.
Обозначим через N(2) количество чисел из N, которые делятся на 2 и далее аналогично. Тогда
N(2) = 50, N(3) = 33, N(5) = 20, N(2,5) = N(10) = 10, N(2,3) = N(6) = 16,
N(3,5) = N(15) = 6, N(2,3,5) = N(30) = 3.
По формуле включений-исключений получаем:
N= 100 – N(2) – N(3) – N(5) + N(2,3) + N(3,5) + N(2,5) – N(2,3,5) = 100 – 50 – 33 – 20 + 16 + 10 + 6 – 3 = 32.


Слайд 9 Определение 3. Пусть дано множество
А = {1,

Определение 3. Пусть дано множество А = {1, 2, 3, …,

2, 3, …, n}.
Перестановка (к1, к2,…, кn) называется

беспорядком, если кi ≠ i для любого i n, то есть каждое число не стоит на своем месте.
Пример. Пусть А = {1, 2, 3, 4}.
Выпишем все беспорядки:
(2,1,4,3), (2,3,4,1), (2,4,1,3), (3,1,4,2), (3,4,1,2), (3,4,2,1), (4,1,2,3), (4,3,1,2), (4,3,2,1).

Слайд 10 Теорема 4. Число беспорядков n-элементного множества равно


Доказательство.

Теорема 4. Число беспорядков n-элементного множества равно Доказательство. Введем обозначения: N(i)

Введем обозначения:
N(i) – количество перестановок, у которых на

i-м месте стоит число i.
Поскольку все остальные (n-1) числа могут стоять произвольно, то
N(i) = (n-1)! (i = 1, 2, 3, …, n).
Пусть N(i, j) – количество перестановок, в которых числа i и j стоят на i-м и j-м местах соответственно, N(i, j) = (n – 2)!

Слайд 11 Пусть N(i1, i2, …, ik ) – количество

Пусть N(i1, i2, …, ik ) – количество перестановок, в которых

перестановок, в которых числа i1, i2, …, ik стоят

на местах с этими же номерами соответственно,
N(i1, i2, …, ik ) = (n – k)!.
Отметим так же, что количество чисел вида N(i1, i2, …, ik )
существует столько же, сколько существует k-элементных подмножеств n-элементного множества, то есть .
Обозначив через Dn – количество беспорядков множества А, по формуле включений – исключений получаем:


  • Имя файла: formula-vklyucheniy-isklyucheniy-besporyadki.pptx
  • Количество просмотров: 122
  • Количество скачиваний: 0
Следующая - Клесты