Презентация на тему Формулы для вычисления площадей различных треугольников. 10-й класс

А
С
В
D
b
a

на высоту.

между ними, то площадь такого треугольника можно найти, как

половина произведения двух сторон на синус угла между ними.

С

B

A

ɣ

c

a

D

hа

b

половине произведения
его периметра на радиус вписанной окружности.
А
B
C
O
S= ½(a+b+c)r
r

произведению всех его сторон,
деленному на четыре радиуса описанной окружности.

A

B

C

O

R

работавший в Александрии,(даты рождения и смерти неизвестны, вероятно, I –

II вв. н. э. ).
Математические работы Герона являются энциклопедией античной прикладной математики. В "Метрике" даны правила и формулы для точного и приближённого расчёта различных геометрических фигур, например формула Герона для определения площади треугольника по трём сторонам, правила численного решения квадратных уравнений и приближённого извлечения квадратных и кубических корней. В основном изложение в математических трудах Герона догматично – правила часто не выводятся, а только выясняются на примерах.
Герон занимался геометрией, механикой, гидростатикой, оптикой.

стороны треугольника а,b,с , то запишем ее в виде:

C

c

b

B

a

A

если, А(0;6) B(4;-2) C( 2;18)
Из построения видно, что

треугольник АВС разносторонний, и ни одна из высот не параллельна оси координат.

Найдем площадь треугольника по II формуле Герона..

Как мы видим здесь очень громоздкие вычисления и без калькулятора не обойтись. Тогда встает вопрос . А нет ли какой-нибудь формулы попроще, чтоб посчитать площадь треугольника в прямоугольной системе координат? И вот эта формула.

простая формула:

Вывод этой последней формулы приводится ниже .

Пусть вершины треугольника АВС имеют следующие координаты:

А( х1; у1), В (х2; у2), С( х3; у3)

вершинами А (х1; у1), В( х2; у2), С( х3;

у3).
Пусть АВ= с, АС = b, а углы, образованные этими сторонами осью Ох, соответственно равны α и β

Пусть ф = угол САВ; очевидно
ф = β – α
По известной формуле тригонометрии получаем:
S= ½ bc sin ф = ½ bc sin (β – α) = ½ bc(sin β cos α- cosβ sinα ) = ½(by cx- bx cy) (3)
Отсюда в силу (1) (2) имеем:
S= ½ [(y3-y1) (x2-x1) – (x3-x1) (y2-y1)] (4)
Заметим, что формула (4) при ином расположении вершин может дать площадь треугольника S со знаком минус.
Поэтому формулу для площади треугольника обычно пишут в виде:
S= +/- ½ [(x2-x1) (y3-y1) – (x3-x1) (y2-y1)] (4’)
Где знак выбирается так, чтобы для площади получалось положительное число.
Формулу (4) можно записать в удобном для запоминания форме:

углам.

углам.

описанной окружности.

сторон треугольника

и продолжения двух других сторон.
Вычисление площади треугольника через радиусы

вневписанных окружностей.