Презентация на тему Гетероскедастичность и ее последствия

Обобщенный метод наименьших квадратов
План

Кафедра математической статистики

зависят от свойств случайной компоненты ε.
Для получения статистически надежных

эмпирических коэффициентов регрессии необходимо следить за выполнимостью условий Гаусса-Маркова.
При нарушении условий Гаусса-Маркова МНК может давать эмпирические коэффициенты регрессии с плохими статистическими свойствами.

Условия Гаусса-Маркова

Кафедра математической статистики

случайного фактора должна быть одинаковой для всех наблюдений, т.е.

D(εi)= D(εj).
Выполнение этого условия называется гомоскедастичностью, а его нарушение - гетероскедастичностью.

Второе условие Гаусса-Маркова

Кафедра математической статистики

–либо значение одинакова для всех наблюдений
Второе условие Гаусса-Маркова
Кафедра математической

статистики

Вероятность того, что случайная ошибка примет какое-либо значение неодинакова для всех наблюдений

модели с гомоскедастичными остатками


Кафедра математической статистики

“гомоскедастичное” облако точек

модели с гетероскедастичными остатками


Кафедра математической статистики

“гетероскедастичное” облако точек

являться эффективными;
формулы для вычисления стандартных ошибок коэффициентов регрессии становятся

некорректными;
дисперсия остатков регрессии становится смещенной оценкой для дисперсии случайной компоненты;
все выводы, получаемые на основе F – и t -статистик, а также интервальные оценки становятся ненадежными.

Последствия

Кафедра математической статистики

гетероскедастичности осуществляется с помощью визуального анализа поведения остатков регрессии.
Дальнейшая

проверка на наличие гетероскедастичности осуществляется уже с помощью статистических тестов.

тесты

Кафедра математической статистики

Спирмена
графичес-кий анализ остатков
тест Глейзера
Кафедра математической статистики

тест Квандта

расширяющейся или наклонной полосы, то это свидетельствует в пользу

гетероскедастичности

Графический тест

Кафедра математической статистики

некоторую полосу постоянной ширины, то это свидетельствует в пользу

гомоскедастичности.

Графический тест

Кафедра математической статистики

Кафедра математической статистики

остатков регрессии со значениями объясняющей переменной.

При использовании этого теста

предполагается, что дисперсия случайной ошибки либо уменьшается, либо увеличивается по мере увеличения Х.

При этом точки (xi,ei) могут располагаться внутри либо расширяющейся, либо – наклонной полосы (см. слайд 12 ).

Теснота взаимосвязи между модулями остатков регрессии |ei| и значениями xi оценивается с помощью выборочного рангового коэффициента корреляции rxe.

Если связь между абсолютными величинами остатков регрессии и значениями может быть признана статистически значимой, то принимается гипотеза о наличии гетероскедастичности.

Тест Спирмена

Кафедра математической статистики

переменную X,
для каждого i -ого наблюдения вычисляют модуль остатков

регрессии |ei|;
значения xi и модули |ei| ранжируются, т. е. упорядочиваются по возрастанию;
вычисляются ранги – порядковые номера значений в ранжированном ряде из значений xi, и ранги |ei| – порядковые номера значений в ранжированном ряде, составленном из модулей остатков;
для каждого i-ого наблюдения вычисляется значение di как разность между рангами xi, и |ei| (пусть, например, наблюдаемое значение объясняющей переменной x11 является 33-им по величине, т.е. ранг x11 равен 33, а |e11| является 5-ым по величине, т.е. ранг |e11| равен 5, тогда d11=33-5=28);
вычисляется выборочный коэффициент ранговой корреляции по следующей формуле:

Тест Спирмена

Кафедра математической статистики

гипотезы:
H0 :(ранговый коэффициент корреляции для генеральной совокупности ρxe

= 0, или гетероскедастичность отсутствует);
H1 :(ранговый коэффициент корреляции для генеральной совокупности ρxe отличен от 0, или гетероскедастичность имеет место);
8) cтатистика для проверки H0 имеет вид:



9) строится двусторонняя критическая область ;
10) если наблюдаемое значение t-статистики попадает в критическую область, то принимается гипотеза о наличии гетероскедастичности; если же наблюдаемое значение t-статистики попадает в область принятия гипотезы, то принимается гипотеза о наличии гомоскедастичности.
Замечание. Если в модели более одной объясняющей переменной, то с помощью t-статистики проверка гипотезы может выполняться для каждой из переменных отдельно..

Тест Спирмена

Кафедра математической статистики

дисперсия D(εi) либо растет, т.е.




либо падает, т.е.



Тест Голдфелда-Квандта

Кафедра математической статистики

величине объясняющей переменной;
2) упорядоченная выборка разбивается на три подвыборки

объемом ;
3) средняя треть наблюдений отбрасывается и оцениваются отдельные регрессии для верхней и нижней подвыборок;
4) вычисляются дисперсии остатков регрессии для верхней ( ) и нижней ( ) подвыборок;
5) выдвигают основную гипотезу
H0 : модель является гомоскедастичной;
против альтернативной
H1 :модель является гетероскедастичной;

Тест Голдфелда-Квандта

Кафедра математической статистики

с помощью статистики:


при выбранном уровне значимости α строится правосторонняя

критическая область , описываемая неравенством: ;
вычисляется наблюдаемое значение F-критерия;
далее следует выполнить проверку гипотезы H0 по стандартной схеме.

Тест Голдфелда-Квандта

Кафедра математической статистики

когда стандартное отклонение случайной компоненты связано со значением X

нелинейной зависимостью:

Тест Глейзера

Кафедра математической статистики

;

оценки стандартных отклонений случайной компоненты в каждом наблюдении вычисляются как:

выбирается набор значений показателя степени γ, например, такой:

для каждого γ строится по МНК регрессионная модель вида:

Тест Глейзера

Кафедра математической статистики

проверяется статистическая значимость каждого коэффициента

;
6) если оценка окажется статистически значима, то имеет место гетероскедастичность.


Замечание. Если для нескольких значений параметра γ получены статистически значимые оценки , то следует выбрать наилучшую из них (т. е. ту, для которой
t-статистика максимальна).

Тест Глейзера

Кафедра математической статистики

обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК).
Суть ОМНК – минимизация суммы

квадратов отклонений, в которой каждое наблюдение присутствует с учетом его “веса”.
Последствия ОМНК – получение эффективных оценок для коэффициентов регрессии.

ОМНК

Кафедра математической статистики

т. е.

Предположим, что дисперсия случайной компоненты в каждом

наблюдении известна.
Разделим каждое наблюдение на соответствующее ему значение стандартного отклонения:



Положим и .

Тогда преобразованная модель примет вид:

ОМНК

Кафедра математической статистики

полученной модели имеет нулевое математическое ожидание и единичную дисперсию

для всех наблюдений. Действительно,
и


Следовательно, оценки коэффициентов регрессии можно найти по обычному МНК, минимизируя следующую сумму квадратов отклонений

ОМНК

Кафедра математической статистики

(взвешенного) МНК состоит в том, что значения

, как правило, неизвестны. На практике неизвестные значения либо заменяют их оценками, либо подбирают некоторую величину, пропорциональную в каждом наблюдении стандартному отклонению .

ОМНК

Кафедра математической статистики

второго условия Гаусса-Маркова.
Проверка осуществляется с помощью статистических тестов.
При

нарушении второго условия Гаусса-Маркова следует предпринять шаги к устранению гетероскедастичности.

Выводы

Кафедра математической статистики