Презентация на тему Бином Ньютона. Треугольник Паскаля. 11 класс

запись, которая имеет большое значение.
Такая запись называется треугольником

Паскаля:

в треугольнике паскаля равно сумме двух чисел, стоящих над

ними в предыдущей строке.
Давайте распишем несколько строк:








Математически свойство подсчета числа сочетаний без повторений можно записать еще вот так:

свое применение и в другой математической задаче. Давайте вспомним

несколько правил возведения в квадрат суммы.
Самое первое правило, которое мы с вами выучили это квадрат суммы:

Довольно таки легко найти выражение и для следующей степени, используя правила перемножения многочленов:


Проделаем эту же операцию и для четвертой степени:

проведем небольшой анализ полученных формул.
Первое на что стоит обратить

внимание, показатель степени в левой части равен сумме показателей степеней в правой части, для любого слагаемого. Для четвертой степени, очевидно слева показатель равен четырем. В правой части показатель степени, при первом слагаемом, для а равен 4, для b равен 0, в сумме 4. Для второго слагаемого сумма показателей равна 3+1=4, для следующего 2+2=4, и так до самого конца сумма показателей равна 4.
Ребята, посмотрите внимательно на коэффициенты в правой части, ни чего не напоминает? Правильно, коэффициенты образуют треугольник Паскаля.

позволяют вычислять сумму двух одночленов в n-ой степени:


Давайте попробуем

доказать нашу формулу:
Рассмотрим слагаемое, стоящее на месте под номером k+1. По написанной выше формуле получаем, вот такое слагаемое:

Нам нужно доказать, что коэффициент при данном одночлене как раз и равен .
Для того, чтобы двучлен возвести в n-ую степень, нам нужно этот двучлен умножить на себя n раз, то есть:


Чтобы получить требуемое слагаемое, нам надо выбрать k - штук множителей для b, и получается n-k – множителей для а, в каком порядке будем выбирать данные множители не важно, а это задача есть ни что иное как – число сочетаний из n элементов по к, без повторений, то есть . Наша формула доказана.

перед слагаемыми – Биномиальные коэффициенты.

б)

Решение. Применим нашу формулу:
а)

Вычислим все коэффициенты:


В итоге

получаем:


б)

двучлен:


Используя Бином Ньютона получим:


При х=1 получаем: