Презентация на тему Интеграл и первообразная

правила нахождения первообразной
1.6. Таблица
2. Интеграл
2.1. Площадь криволинейной трапеции
2.2.

Интеграл. Формула Ньютона – Лейбница

первообразной для функции f на заданном промежутке, если для

всех х из этого промежутка
F’(x) = f(x)

состоит в том, чтобы для заданной функции найти все

ее первообразные.

Признак постоянства функции. Если F’(x) =0 на некотором промежутке I, то функция F – постоянна на этом промежутке.
Доказательство. Зафиксируем некоторое х0 из промежутка I. Тогда для любого числа х из такого промежутка в силу формулы Лагранжа можно указать такое число с, заключенное между х и х0 , что
F(x)-F’(c) = F’(c)(x-x0).
По условию F’(c)=0, так как с I, следовательно,
F(x)-F(x0) = 0.
Итак, для всех х из промежутка I
F(x) = F(x0),
т.е. функция F сохраняет постоянное значение.
(продолжение следует)

с помощью одной формулы, которую называют общим видом первообразных

для функции f. Справедлива следующая теорема (основное свойство первообразных):
Теорема. Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде
F(x) + C,
Где F(x) – одна из первообразных для функции f(x) на промежутке I, а С – произвольная постоянная.

поставить в выражение F(x)+C вместо С, получим первообразную для

f на промежутке I.
2) какую бы первообразную Ф для f на промежутке I ни взять, можно подобрать такое число С, что для всех х из промежутка I будет выполнено равенство
Ф(х) = F(x) + C.
Доказательство.
1) по условию функции F – первообразная для f на промежутке I. Следовательно, F’(x)=f(x) для любого х I, поэтому
(F(x) + C)’ = F’(x) + C’ = f(x) + 0 = f(x),
т.е. F(X) + C – первообразная для f .
2) пусть Ф(х) – одна из первообразных для функции f на том же промежутке I, т.е. Ф’(x)=f(x) для всех х I. Тогда
(Ф(х) - F(x))’ = Ф’(x) - F’(x) = f(x) - f(x) = 0
Отсюда следует в силу признака постоянства функции, что разность Ф(х) F(x) есть функция, принимающая некоторое постоянное значение С на промежутке I.
Таким образом, для всех х из промежутка I справедливо равенство Ф(х) - F(x) = C, что и требовалось доказать.

F есть первообразная для f, а для G –

первообразная для g, то F+G есть первообразная для f+g.
Действительно, так как F’=f и G’=g, по правилу вычисления производной суммы имеем:
(F+G)’ = F’ + G’ = f + g.
Правило 2. если F есть первообразная для f, а k – постоянная, то функция kF – первообразная для kf.
Действительно, постоянный множитель можно выносить за знак производной, поэтому:
(kF)’ = kF’ = kf.
Правило 3. если F(x) есть первообразная для f(x), а k и b – постоянные, причем k=0, то F(kx+b) есть первообразная для f(kx+b).
Действительно, по правилу вычисления производной сложной функции имеем:
( F (kx + b))’ = F’(kx + b)*k=f (kx + b)

оси оХ задана непрерывная функция f, не меняющая на

нем знака. Фигуру, ограниченную графиком этой функции, отрезком [a; b] и прямых х = а и х = b, называют криволинейной трапецией.
Теорема. Если f – непрерывная и неотрицательная на отрезке [a; b] функция, a F - ее первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке [a; b] , т.е.
S=F(b)-F(a).
Доказательство. Рассмотрим функцию S(x), определенную на отрезке [a; b]. Если a Докажем, что
S’(xo) = f(xo).

непрерывна в Xo. Тогда в достаточно малой окрестности в

точке Xo функцию f(x) можно считать постоянной и равной f(Xo).
Тогда прирощение равно площади приближенно равно: f(x) x
S : x = f(x)
Если x 0, S : x S’(Xo)
S’(Xo) = f(Xo) т.е S - первообразная функции f в точке Xo

f. Поэтому в силу основного свойства первообразных для всех

х [a; b] имеем:
S(x) = F(x) + C,
Где С - некоторая постоянная, а F – одна из первообразных для функции f. Для нахождения С подставим х = а:
F(a) + C=S(a)=0,
Откуда С= -F(a). Следовательно,
S(x) = F(x) - F(a).
Поскольку площадь криволинейной трапеции равна S(b), подставляя х = b в формулу S(x)+F(x)-F(a), получим:
S = S(b) = F(b) - F(a).

функция f неотрицательна и непрерывна на отрезке [a; b],

тогда площадь S соответствующей криволинейной трапеции можно приближенно подсчитать следующим образом.
Разобьем отрезок [a; b] на n отрезков одинаковой длины точками
x0 = a < x 1 < x 2 < … < x n -1 < x n = b, и пусть х = = x k – x k - 1, где k = 1, 2, …, n-1, n. На каждом из отрезков [x k-1; x k] как на основании построим прямоугольник высотой f(x k-1). сумма площадей всех таких прямоугольников (рис.2) равна:
Sn = (f(x0) + f(x1) + … + f(x n-1)).
Т.к f(x) непрерывная функция , то при x o,т.е n , то Sn S

Sn S к некоторому числу. Это число называют

интегралом функции .
f(x)d(x), где f(x) подинтегральная функция, a – нижний предел интегрирования, b- верхний, - интеграл, x – переменная. Интеграл – это предел интегрированяи сумм. Сравнивая S= F(b) – F(a) и S= f(x)dx, можно записать

верна для любой функции f, непрерывной на отрезке [a;

b].