являются задачи на построение сечений пространственных фигур, а для
этого необходимо научиться изображать эти фигуры.Введение
FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.
Email: Нажмите что бы посмотреть
Введение
Существуют различные методы изображения пространственных фигур на плоскости, но практика показывает, что целесообразным является метод параллельного проецирования.
2. свойство фигуры иметь пересечение;
3. деление отрезка в данном отношении;
4. свойство прямых (плоскостей, прямой и плоскости) быть параллельными;
5. свойство фигуры быть треугольником, параллелограммом, трапецией;
6. отношение длин параллельных отрезков;
7. отношение площадей двух фигур.
В зависимости от цели используются изображения следующих трех видов:
иллюстративные
полные
метрически определенные
Но всем этим изображениям предъявляются такие требования:
Только после того можно строить их сечения.
В построение пространственного чертежа входит:
- выбор оптимального положения изображаемого тела,
- выбор ракурса и проекции,
- умение минимизировать количество изображенных линий,
- умение строить сечения и проекции на плоскость,
- умение перевести условия задачи на графический язык.
- параллелепипед (прежде всего прямоугольный),
- треугольная призма,
- треугольная пирамида (тетраэдр)
- четырехугольная пирамида.
Ко второй группе относятся:
Конечно, такое разделение носит условный характер.
И одной из целей данной исследовательской работы является построение сечения в «неудобных» для изображения пространственных тел.
Построение сечения многогранников
Таким образом, пересечение многогранника с плоскостью может быть пустым множеством, точкой (вершина многогранника), отрезком (ребро многогранника) или многоугольником (вершины которого лежат на ребрах многогранника).
Построение следов плоскости на гранях можно вести по одному из следующих приемов:
M
Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту линию называют следом секущей плоскости.
Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры.
A
B
D
C
F
O
E
N
M
K
Построение:
Решение:
1. Проведем среднюю линию MN основания ABC (соединим середины двух сторон основания).
2. Проведем в основании ABC медиану AE, она пройдет через середину отрезка MN, которую обозначим F.
3. Из вершины D построим высоту DO к медиане AE.
4. Из F проведем линию параллельно высоте OD до пересечения с ребром AD, обозначим точку К.
Соединим точки N, М и К.
Искомое сечение NMK.
М
Построение:
Решение:
g
A
B
C
D
Q
W
E
О
2. Продолжим сторону основания EW до пересечения с g. Точка пересечения О принадлежит секущей плоскости и
3. Проведем вспомогательную прямую через точку А и точку пересечения О. Эта прямая пересечет ребро EQ в точке D.
4. Соединим точки A, B, C и D.
Искомое сечение ABCD.
1. Продолжим сторону CB – это будет g - след секущей плоскости.
плоскости проходящей через боковую грань пирамиды, где лежит ребро QW.
Построение:
Решение:
D
В
а
С
А
Q
W
E
R
T
Y
U
I
1. Продолжим стороны основания призмы до пересечения с прямой а, они все лежат в одной плоскости (плоскость основания призмы). Точки пересечения продолжения сторон основания с прямой а принадлежат и прямой а и плоскостям, проходящим через боковые грани призмы.
2. Проведем прямые через точку А и точки пресечения продолжения сторон основания с прямой а, эти прямые пересекут боковые грани в точках В и С.
3. Через точки В и С проведем прямые, которые пройдут через точки пересечения продолжения соответствующих сторон основания и прямой а, пересечение этих прямых должно лежать на ребре RU, получим точку D.
Искомое сечение АBDC.
1. Для построения данного сечения соединим имеющиеся точки прямыми МР и РК.
2.Продолжим ребро FS до пересечения с прямой PK, получим точку W.
3.Так же построим точку Q пересечением прямой PM и продолжением ребра FH.
4.Через точки W и Q проведем прямую, которая пересечет ребра HG и GS в точках X и Z.
W
Решение:
1. Сначала соединим точки М и Р.
2. Построим прямую, которой принадлежит точка К и которая проходит параллельно прямой МР, где Х - точка пересечения данной прямой с ребром АВ.
4. Продолжим DC до пересечения с XK в точке W.
3. Продолжим AD до пересечения с XK, получим вспомогательную точку Y.
5. Затем проведем прямую, проходящую через точку Р и W, которая пересечет ребро SС в точке Z, и прямую через точки M и Y, которая пересечет ребро HA в точке F.
6. Соединим точки X и F, а также точки Z и K.
Данная фигура MPZKXF и является искомым сечением.
Построение:
L
A
B
C
D
F
H
K
G
x
E
Y
4
3
2
1
5
Z
М
N
Решение:
1. Проведем прямые ZY и ZX, которые лежат в плоскости сечения.
2. На плоскости нижнего основания построим проекции прямых ZY и ZX, пересечение прямых со своими проекциями обозначим М и N.
3. Проведем прямую MN, являющуюся пересечением плоскости нижнего основания и секущей плоскости.
4. Построим продолжение ребра LK до пересечения с прямой MN, из точки пересечения проведем прямую через точку Z, которая пересечет ребра призмы в точках 1 и 2. Получим сторону сечения 12.
Также найдем стороны сечения 23, 34 и 45.
Получили искомое сечение 12345.
S
C
A
D
B
E
M
P
1
2
3
К
Решение:
1. Соединим вершины А и С. Плоскость ASC проходит через точку М и ребро SC. В этой плоскости через точку М проведем прямую МР, параллельно ребру SC. Эта прямая лежит в секущей плоскости.
2. След секущей плоскости на плоскости основания проходит через точку Р параллельно CD. Обозначим К пересечение следа секущей плоскости с продолжением ребра АЕ.
3. Проведем прямую через точки М и К, которая пересечет ребро SЕ в точке 1.
3. Обозначим 2 пересечение прямой РК и ребра ED. Соединим 1 и 2. Обозначим 3 пересечение РК и ребра AB. Соединим 3 и точку М.
Искомое сечение М123.
Построение:
D
E
N
M
L
B
C
A
K
3п10
S
Дано: Правильная пятиугольная пирамида - SABCDE ,
сечение- AMNC,
q - длина стороны основания пирамиды, b – длина бокового ребра.
Найти: Sсеч - площадь сечения
Решение:
Пусть M и N – середина ребер ES и DS; легко видеть, что AMNC – трапеция, MN параллельно ED, а ED параллельно AC. Очевидно также, что MN=1/2q, где q – длина стороны основания пирамиды.
Используя формулу для квадрата медианы треугольника (на основании теоремы о сумме квадратов диагоналей параллелограмма), получаем:
Решение:
Нахождение площади сечения
Задача на нахождение площади сечения
CN²=
CN=
KC= =q sin , АВК=
AC
2
3π
10
3π
10
KL - отрезок соединяющий середину трапеции ACNM
KL = CN² - (KC - q / 4)2= -( q ( 5+1)/4 - q/4)2=
b2 + 2q2
4
b2 + 2q2
4
b2 + 2q2
4
= - = , при sin =
b2 + 2q2
4
5 q2
16
4b2 + 3q2
4
5+1
4
Таким образом , искомая площадь Sсеч =1/2∙(MN+AC)KL=(2+ 5)∙ 4b2 + 3q2
3π
10
Проводя исследовательскую работу, я заинтересовалась, как будет выглядеть сечение в более сложной фигуре, например, в додекаэдре,
и решила построить данное сечения сама.
2
3
Получили искомое сечение 12345.
4
X
a
3. Через точки 2,3 проведем прямую b так, чтобы она пересекла продолжение другого ребра той же грани, где находятся ребра с точками 2 и 3. Получим точку Z.
b
Z
4. Построив прямую, проходящую через точки Z и X, получим точки пересечения с ребрами додекаэдра 4,5.
5. Соединим точки 4 и 3, 5 и 1.
Заключение
Стереометрия развивает логику, пространственное воображение.
Я убедилась, что с помощью компьютера можно наглядней
изучить эту науку,
лучше научилась рассуждать и
понимать условия задач, анализировать и
творчески подходить к решению поставленных задач.