Презентация на тему Квадратные уравнения 9 класс

( Чосер, английский поэт, средние века.)

коэффициентами и корнями квадратного уравнения.

Квадратные уравнения. Виды квадратных уравнений.
Методы решения

квадратных уравнений.
Зависимость между корнями и коэффициентами
квадратного уравнения.

Приёмы рационального решения
квадратных уравнений, используя
свойства коэффициентов.

2 + b x + c = 0
где х

– переменная,
a, b и c – некоторые числа, причём а ≠ 0.

a x^2 + b x + c = 0

Первый коэффициент

Второй коэффициент

Свободный
член

х + с = 0
приведённое
x ^ 2 + p

x + q = 0

c = 0;
a x ^ 2 + b x = 0

b = 0; c = 0;
a x ^ 2 = 0

b = 0;
a x ^ 2 + c = 0

с
Д > 0
Д = 0
Д < 0
Уравнение имеет
два

действительных
корня.

Уравнение имеет
два равных
действительных корня.

Уравнение не имеет
корней.

х1 = (- в- √ Д )/ 2а;
х 2= (- в + √ Д )/2а

х1,2 = - в / 2а

b x + c = 0.
Основа:

f (x) = a x ^2 + b x + c ;
f (1) = a + b + c; f (- 1) = a - b + c.

1.Если a + b + c = 0, то один корень уравнения x = 1, а второй x = c/a.

2.Если a - b + c = 0, то один корень уравнения x = - 1, а второй x = - c/a.

+ 1, то один корень уравнения x = -

a, а второй x = -1/a.

4. Если a = c, b = -(a^2 + 1), то один корень уравнения x = a, а второй x = 1/a.

квадратного
уравнения х^2 + px + q =

0 ,
то x1 + x2 = - p, а x1 x2 = q.
Обратное утверждение:
Если числа m и n таковы, что m + n = - p, mn = q, то эти числа являются корнями уравнения х^2 + px + q = 0.
Обобщённая теорема:
Числа х1 и х2 являются корнями приведённого квадратного уравнения х^2 + px + q = 0 тогда и только тогда, когда x1 + x2 = - p, x1 x2 = q.
Следствие: х^2 + px + q = (х – х1)(х – х2)

px + q = 0, если Д > 0.

правильности найденных корней.
Определение знаков корней квадратного уравнения.
Устное

нахождение целых корней приведённого квадратного уравнения.
Составление квадратных уравнений с заданными корнями.
Разложение квадратного трёхчлена на множители.

c = 0
Теорема Виета:
x1 + x2 = -b/a,
х1 x2

= c/a

Общая формула корней:
x1,2 = (-b ± √b^2 – 4ac)/2a

Если a – b + c = 0,
то x1 = - 1; x2 = - c/a.

Если a ± b + c ≠ 0,
то решить уравнение
x^2 + bx + c = 0
и разделить полученные
корни на a.

Если a + b + c = 0,
то x1 = 1; x2 = c/a.

Общая формула с чётными
коэффициентами:
х1,2 = (-b/a ± √(b/2)^2 – ac)/a

+ c = 0.
Метод введения
новой переменной:
Замена: f(x) =

t.
Решаем уравнение:
at^2 + bt + c = 0.
3) Решаем уравнение:
f(x) = t.

Биквадратное уравнение:
ax^4 + bx^2 + c = 0.

Уравнение с переменной
в знаменателе:
p(x) / q(x) = 0.

p(x) = 0,

q(x) ≠ 0.

Рациональное
уравнение f(x) = q(x),
где f(x) и q(x) – дробные
выражения.

Найти общий
знаменатель дробей,
входящих в уравнение;
2. Умножить обе части
уравнения
на общий знаменатель;
3. Решить получившееся
целое уравнение;
4. Исключить из его корней
те, которые обращают в
нуль общий знаменатель.

общее правило решения квадратных уравнений, приведённых к единому каноническому

виду
x^2 + bx = c
при всевозможных комбинациях знаков и коэффициентов b и c.

Франсуа Виет (1540 – 1603) вывел формулы решения квадратного уравнения в общем виде, однако он признавал только положительные числа.

Итальянские учёные Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI веке учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни.

В XVII веке благодаря трудам Жиррара, Декарта, Ньютона и других учёных, способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

А.

М., Просвещение, 2002 г.
Сборник задач по алгебре. Галицкий М. Л., Гольдман А. М.,
Звавич Л. И. М., 1996 г.
3. Алгебра.Дополнительные главы к школьному учебнику 8 класса. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г.
М., Просвещение, 2003 г.