Презентация на тему Математический анализ

заданная на некотором промежутке [a; b] , называется монотонно

возрастающей (монотонно убывающей)
на этом промежутке, если для  пары точек промежутка x1 и x2,
x1  x2
выполняется
f (x1)  f (x2),
( f (x1)  f (x2) ).

функция y = f(x)
и  конечная производная

f (x) на (a, b).
Тогда, для того чтобы функция y = f(x)
была монотонно возрастающей на [a, b]
(монотонно убывающей на [a, b] )
необходимо и достаточно, чтобы во всех точках интервала (a, b)

Теорема

и x0 , a  x0 

x  b
f (x0)  f (x)




при x  x0

ч.т.д.

 x  (a, b).
По т.

Лагранжа для  [x1 , x2]  [a,b]


т.к. x2 > x1 и f (с)  0 , то f (x2)  f (x1)
ч.т.д.

y = 6x – 2,

y = 0 при 
y  0 при x  (-, ), y  0 при x  ( ,  )
y = f(x) убывает при x  (- , ) и возрастает при x  ( ,- ) .

y - + x

y х

промежутке (a, b), имеет локальный максимум (локальный минимум )

в точке x0 (a, b) ,
если  такая окрестность точки x0 , что
для  x из этой окрестности (кроме точки x0 ) справедливо равенство:

экстремум функции

Значение в этом случае называют значением
локального максимума (локального минимума) функции.
Extremum - max, min – крайние значения.

max min

y



0 x0- x0 x0+ x

y



0 x0- x0 x0+ x

на (a, b) и достигает наибольшего значения f(x0), x0

 (a, b) и  конечная производная f  (x0), то f  (x0) = 0.







Стационарные точки
Точки, принадлежащие области определения функции y = f (x), в которых производная равна нулю, называются стационарными.

Необходимое условие экстремума функции

Необходимым условием существования экстремума функции в

точках, где существует конечная производная является обращение в ноль производной.

определения функции,
в которых производная равна нулю (стационарные

точки ) или не существует.

Точки, подозрительные на экстремум

y
y 

y=0


O x
x0

[a, b] и  конечная производная f  (x)

на (a, b), которая в точке x0  (a, b)
f  (x0) = 0.
Тогда , если f  (x) при переходе через точку x0 меняет знак
с + на - , то в точке x0 mах
с - на + , то в точке x0 min
mах min

Теорема (Достаточное условие экстремума функции)

y y y y
y =0
y = 0 y =0 y =0

0 x0- x0 x0+ x 0 x0- x0 x0+ x 0 x0- x0 x0+ x 0 x0- x0 x0+ x

функции

.

1. x  [- , ];


2. ;

3. Находим точки подозрительные на экстремум:
y =0 при x1=0, y  x2=1, x3=-1,- функция определена и непрерывна.

у + -1 + 0 - 1 - х
y min (0) = -1,
y -1 0 1 х - промежутки монотонности.
min

Пример.

на [a, b]

1. Найти точки подозрительные на

экстремум и выбираем те, которые принадлежат отрезку [a, b] .
2. Вычисляем значения функции во всех этих точках,
а также f(a) и f(b).
3. Наибольшее из этих чисел и будет наибольшим значением функции f (x) на отрезке [a, b], наименьшее из этих чисел будет наименьшим значением функции f (x) на отрезке [a, b].

Правило отыскания наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке [a, b].

y


0
a x1 x2 x3 b x

= x4 - 2x2+ 5
на отрезке [-3, 2].

Находим точки подозрительные на экстремум:
y = 4x3 – 4x = 4x(x2 – 1) = 4x(x –1) (x + 1),
y =0 при x1=0, x2=1, x3=-1.

f(0) =5; f(1) = 4; f(-1) = 4;
f(2)=24 - 22+ 5=13; f(-3)=(-3)4 - (-3)2+ 5=77.


Наибольшее yх=-3 = 77;

наименьшее yх=-1 = yх=1= 4.

Пример.

f (x) в точке
называется выпуклой (вогнутой), если

в некоторой окрестности этой точки она лежит ниже (выше) касательной, проведенной к кривой в этой точке.

непрерывна функция
y = f(x) и 

конечная производная f  (x) на (a, b).
Тогда, для того чтобы функция y = f(x) была
выпуклой
(вогнутой)
на [a, b] необходимо и достаточно, чтобы во всех x  (a, b)
f  (x) < 0
( f  (x) > 0 ) .

Теорема. Условие выпуклости и вогнутости кривой

(a, b) ,
касательная к кривой y = f(x)

в точке M(x0, f(x0)) :
Y - f(x0) = f  (x)(x - x0)
Формула Тейлора для y = f(x) при n = 1: y M(x0, f(x0))
y = f(x) = f (x0) + f  (x0)(x - x0) + Y y
тогда 0 x0 х х
d = y –Y = f(x0) + f  (x0)(x - x0) + - ( f(x0 +f  (x)(x - x0))
d = , где x0 < с < x 
а) если d < 0, (кривая лежит под касательной, она выпуклая), то ;
б) если , то d < 0, (кривая лежит под касательной, она выпуклая).

d

дуги кривой y = f(x) выпуклы, определяются из неравенства

, а интервалы, в которых дуги кривой
y = f(x) вогнуты - из неравенства .

у + х
х0

у х
х0

переходит в точке M0 с одной стороны касательной на

другую,
т. е. если в некоторой окрестности точки х0 все точки кривой с абсциссами x < х0 лежат по одну сторону от касательной,
а все точки с абсциссами x > х0 - по другую ,
т.е. при переходе через точку х0 кривая меняет направление выпуклости.

точка перегиба

перегиба

y y y y


Mo Mo Mo Mo


O x0 x O x0 x O x0 x O x0 x

где существует конечная производная является

обращение в ноль второй производной:

Необходимое условие точки перегиба

[a, b] и
 конечная производная f 

(x) на (a, b), которая в точке x0  (a, b)
f  (x0) = 0,
тогда , если f  (x) при переходе через точку x0 меняет знак,
то точка x0 будет точкой перегиба функции f(x).






Достаточное условием существования точки перегиба функции в точках, где существует конечная производная является обращение в ноль второй производной:

Теорема. Достаточное условие точки перегиба

нужно найти все точки кривой, в которых

или не существует, а функция определена,
т. е. “подозрительные” на перегиб

вторая производная меняет знак,
то эта точка будет точкой

перегиба функции f(x).

;

Пример. Найти промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба кривой

4. Находим точки подозрительные на перегиб:
y  0,
y  x2=1, x3= -1, функция определена и непрерывна в этих точках.


у - -1 + 1 - х yт.п. (1) = 0,



y -1 1 х - промежутки выпуклости,
вогнутости и точки перегиба
т.п. т.п.

= f (x), если расстояние d от
точки M,

лежащей на кривой, до этой
прямой стремится к нулю при движении
точки M вдоль какой-нибудь части
кривой в бесконечность.

асимптоты

вертикальные и наклонные

y = b x = a y = kx+b

y = b только в том случае, когда существует

конечный предел функции
y = f (x) при или и этот предел равен b , т. е. если или

Горизонтальная асимптота

x = a ,

если или
 

вертикальная асимптота

разрыва II - го рода функции,
а также

границы области определения функции y = f (x).


Замечание. Если х  r, то вертикальных асимптот нет.

+ b кривой

y = f (x) нужно найти числа k и b по формулам:
 
и

(следует отдельно рассмотреть случаи x  + и x  -  ).

Если хотя бы один из пределов равен  или не существует, то наклонной асимптоты кривая не имеет.

наклонная асимптота

или нечётной, т. е. симметричен ли её график относительно

оси ординат или начала координат. Найти точки пересечения с осями координат.
Найти вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты графика функции.
Найти y . Найти интервалы монотонности, т. е. интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума.
Найти y . Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции, точки перегиба.
Построить график функции, используя все собранные данные.

План полного исследования функции:

методами

дифференциального исчисления и построить ее график .

1) область определения функции X = (- , -1)  (-1, + ).

2) f(-х)  f(х) и f(-х)  -f(х), функция не является ни четной, ни нечетной;

Пример 1.

при х = -1, т.к.

х = -1 вертикальная асимптота

у = kх + b

Наклонная асимптота: у = 0,5х -1.

и точки экстремума функции.

 х1 = -3 и х2 = 0;
у'(х) не существует, когда  х3 = -1.
Точка х = -1 не может быть точкой экстремума,
(точка разрыва II-го рода)


у max = f(-3)

у + -3 - -1 + 0 х

у -3 -1 0 х

max

разрыв
II-го рода

графика функции и точки перегиба:

= 0 , 3х = 0  х

= 0.

у"(х)  , когда х = -1,

х = -1 не может быть точкой перегиба, (разрыв II - го рода)






ут.п.(0) = f(0) = 0.


разрыв т.п.
II - го рода

у" - -1 - 0 + х

у -1 0 х

т.п.

max

разрыв
II - го рода

х = -1

у = 0,5х -1

+ 1 методами дифференциального исчисления и построить ее график

.
1. Область определения функции X = (- , + ).
2. f(-х) = f(х) функция четная.
3. Асимптот нет. ( X = (- , + ). )
4. у = 4x3 - 4x;
у = 0 при х1 = 0, х2,3 = 1

у - -1 + 0 - 1 + x уmin(1) = 0

y -1 0 1 x уmax(0) = 1
min max min

Пример 2

у = 0 при

х4,5 = 

у + - + x у т.п.( ) =

y x
т.п. т.п.

y

max 1

т.п. т.п.
-1 1 x
min 0 min

методами дифференциального исчисления и построить ее график

.
1. Область определения функции X = (- , 0) и ( 0, + ).
2. f(-х)  f(х) и f(-х)  -f(х) - ни четная, ни нечетная;


3. - разрыв II - го рода

х = 0 - вертикальная асимптота

Пример 3

0 является горизонтальной
асимптотой при

= 0 при х1 = 1, у

не существует, когда х = 0 (эта точка
не принадлежит области определения функции).

у - 0 - 1 + х у min = f(1) = е
у 0 1 х
разрыв II - го рода min
6. у - 0 + х
7. у  0 т.к. х2 - 2x + 2  0 , у 0 х
разрыв II - го рода
у не существует, когда х = 0
(эта точка не принадлежит области определения функции).





у = 12x2 – 4 ;
7. у = 0 при х4,5 = 
у + - + x уmn( ) =

y x
mn mn