Презентация на тему Непараметрический дисперсионный анализ

Непараметрический дисперсионный анализ для независимых выборок.
Критерий Колмогорова-Смирнова.
Заключение.

это непараметрический аналог дисперсионного анализа повторных измерений (ANOVA).


Проверяется гипотеза

о различии более двух зависимых выборок по уровню выраженности изучаемого признака.

Причем отдельно упорядочиваем значения у каждого объекта независимо от

всех остальных. Таким образом получается столько упорядоченных рядов, сколько объектов участвует в исследовании.
Вычисляется сумма рангов для каждого уровня фактора (по столбцам).
Вычисляется эмпирическое значение критерия χ2 -Фридмана



Чем больше различаются зависимые выборки по изучаемому признаку, тем больше эмпирическое значение критерия χ2 –Фридмана.

Ri-сумма рангов для соответствующего уровня i.
Находится χ2крит для df=k-1

и α=0,05.
При k=3, N>9 или k>3, N>4 пользуются обычной таблицей распределения χ2 .
При k=3, N<10 или k=4, N<5 пользуются дополнительной таблицей критических значений χ2- Фридмана.
Определяется уровень значимости.
Если χ2 эмп ≥ χ2 крит нулевая гипотеза отвергается. Различия статистически значимы.
Если χ2 эмп < χ2 крит нулевая гипотеза не отвергается. Различия статистически не значимы.

Если разброс сумм велик и различия статистически значимы, переходим к межгрупповым сравнениям по критерию Вилкоксона с поправкой Бонферрони.

семестрам статистически значимо не различаются

значение критерия χ2 -Фридмана

крит=7,815
Так как 8,6 > 7,815 нулевая гипотеза отвергается.

Различия

результатов тестирования по семестрам статистически значимы на уровне α<0,05.
По каким семестрам результаты различаются, проверяем по критерию Вилкоксона с поправкой Бонферрони:
Т12 Т13 Т14 Т23 Т24 Т34

(Н) - это непараметрический аналог однофакторного дисперсионного анализа для независимых выборок.

Так же как критерий Манна-Уитни U показывает насколько совпадают (пересекаются) несколько рядов значений измеренного признака. Чем меньше совпадений, тем больше различаются ряды, соответствующие сравниваемым выборкам.

ряда ранжируются.
Записываются ранги отдельно для каждой выборки.
Вычисляются суммы рангов

для каждой выборки.
Вычисляется эмпирическое значение критерия Нэмп по формуле:


N-суммарная численность всех выборок, k-количество сравниваемых выборок, Ri-сумма рангов для выборки i, ni-численность выборки i.

и тем меньше уровень значимости.
Находится критическое значение критерия Нкрит

(α=0,05, df=k-1)
Если сравниваются 3 выборки и объем каждой выборки меньше 5, пользуются таблицами критических значений Н-Краскэла-Уоллиса.
Если объем каждой выборки больше 5 и число выборок больше трех, пользуются таблицами распределения χ2 .
Определяем уровень значимости.

Если χ2 эмп ≥ χ2 крит нулевая гипотеза отвергается. Различия статистически значимы.
Если χ2 эмп < χ2 крит нулевая гипотеза не отвергается. Различия статистически не значимы.

Н:


По таблице критических значений находим χ2 для α=0,05 и

df=3-1=2 χ2 крит=5,992
Так как 6,575 > 5,992 нулевая гипотеза отвергается. Различия в группах статистически значимы.
По каким группам результаты различаются, проверяем по критерию Манна-Уитни с поправкой Бонферрони:
U12 U13 U23

теоретическим или двух эмпирических распределений друг с другом.
При применении

этого критерия сравниваются теоретическая F(x) и эмпирическая Fn(x) функции распределения случайной величины (накопленные частоты).
Если разность накопленных частот в двух распределениях оказывается большой, то различия между двумя распределениями являются существенными.

Критерий Колмогорова-Смирнова

эмпирической Fn(x) функциями распределения непрерывной случайной величины Х используется

модуль максимальной разности
Dn = max|F(x) - Fn(x)|.

Вычисляются кумулятивные разности:
3. Находится абсолютное наибольшее значение кумулятивных

разностей

4. Вычисляется значение D критерия Колмогорова-Смирнова и сравнивается с соответствующим табличным значением.

19 до 22 лет проводился тест Люшера в 8-цветном

варианте. Установлено, что желтый цвет предпочитается чаще, чем отвергается. Можно ли утверждать, что распределение желтого цвета по 8 позициям у здоровых испытуемых отличается от равномерного? Сумма эмпирических частот равна 112. Следовательно, fтеор =112/8=14

13 15 24 25
Найдем функции распределения вероятностей (накопленные

частоты):

таблице.
Если число элементов выборки больше 100, критические значения

критерия Колмогорова-Смирнова вычисляются по формулам:
для α=0,05 Dкр=1,36/√n
для α=0,01 Dкр=1,63/√n
Так как Dкр=1,36/√112=0,128; Dкр=1,63/√112=0,154
Dэмп> Dкр 0,196>0,154. Нулевая гипотеза отвергается, распределение желтого цвета по 8 позициям отличается от равномерного.

быть проведены в шкале интервалов и отношений
Выборки должны быть

случайными и независимыми
Эмпирические данные должны допускать упорядочение по возрастанию или убыванию
Суммарный объем двух выборок ≥ 50. С увеличением объема выборки точность критерия повышается.

= 1,47, стандартное отклонение = 1,28.
Нулевая гипотеза: рассматриваемое распределение

F(x) является нормальным с нулевым средним и единичной дисперсией.

Вычисляются кумулятивные разности:
3. Находится абсолютное наибольшее значение кумулятивных

разностей

4. Вычисляется значение D критерия Колмогорова-Смирнова и сравнивается с соответствующим табличным значением.

гипотеза не отклоняется. Данные подчиняются нормальному закону распределения.

применение критерия Колмогорова-Смирнова

статистика /А.М. Попов, В.Н. Сотников. – М.: ЮРАЙТ, 2011.

– 440 с.
Герасимов А. Н. Медицинская статистика: учебное пособие / А. Н. Герасимов. – М. : Мед. информ. агентство, 2007. – 480 с.
Балдин К. В. Основы теории вероятностей и математической статистики : учебник / К. В. Балдин. – М. : Флинта, 2010. – 488с.