Презентация на тему Невизначений інтеграл

задача відшукання швидкості змінювання деякої функції. Але на практиці

часто виникає потреба у розв’язанні оберненої задачі: якщо відома швидкість змінювання функції знайти цю функцію. Тобто потрібно знайти функцію, якщо відома похідна цієї функції. Ця операція називається інтегруванням. Визначимо цей термін.

1. ПЕРВІСНА І НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

, тобто G′(x) = f (x) , але і

F′(x) = f (x) . Розглянемо різницю G(x) − F(x) і позначимо її через R(x). Тоді R′(x) = [G(x) − F(x)]′ = G′(x) − F′(x) = f (x) − f (x) = 0 .

Тобто R′(x) = 0, а тому R(x) - стала величина, і R(x) = C = G(x) − F(x) . Таким чином, дві первісні для функції f (x) відрізняються на сталу величину і вираз F(x) + C зображує загальний вигляд шуканої первісної функції, або інакше - повну сім’ю первісних для функції f (x) .

, то вираз F(x) + C , де С

може приймати будь-яке стале значення, називається невизначеним інтегралом від функції f (x) і позначається символом ∫ f(x)dx , де ∫ - позначення інтегралу, f (x) - підінтегральна функція, f(x)dx - підінтегральний вираз.
Таким чином, рівність ∫ f (x)dx = F(x) + C є лише інший запис співвідношення F′(x) = f (x) , або (F(x) + C)′ = f (x).

сім’я кривих (інтегральних кривих), кожна з яких отримується шляхом

зсуву однієї з кривих паралельно самій собі угору або вниз вздовж осі Оy. Операція знаходження невизначеного інтеграла (тобто відшукання F(x) + C ) від даної функції f (x) називається інтегруванням функції f (x) . І нарешті виникає питання: чи для будь-якої функції існує первісна, а відповідно і невизначений ?

на деякому інтервалі, то для цієї функції існує первісна (а

тому - і невизначений інтеграл). Інтегрування – операція обернена операції диференціювання (тобто операції знаходження похідної від функції ), тому правильність результату інтегрування можна завжди перевірити диференціюванням первісної. Приклад. тому що

цій функції плюс довільна стала

∫dF(x) = F(x) + C . Доведення: Нагадаємо, що диференціал функції y = f (x) знаходиться за формулою : dy = f ′(x)dx , тому ∫dF(x) = ∫ F′(x)dx = ∫ f (x)dx =F(x) + C . 2. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу d ∫ f (x)dx = f (x)dx . Доведення: d ∫ f (x)dx = d(F(x) + C) = dF(x) + dC = F′(x)dx + 0 = f (x)dx .

2. ВЛАСТИВОСТІ НЕВИЗНАЧЕНИХ ІНТЕГРАЛІВ

⋅ ∫ f (x)dx , де c ≠ 0

, тобто сталий множник можна виносити за знак інтеграла. 4. тобто невизначений інтеграл від суми функцій дорівнює сумі невизначених інтегралів від цих функцій. 5. Якщо ∫ f (x)dx = F(x) + C , то ∫ f (ax + b )dx =1/а F(ax + b) + C, де a і b сталі, (а =0).

C.
7.
8.
9.