Слайд 2
Площадь — численная характеристика двумерной (плоской или искривлённой) геометрической
фигуры, неформально говоря, показывающая размер этой фигуры.
Фигуры с одинаковой
площадью называются равновеликими.
Слайд 3
Аксиомы площади
Площадь единичного квадрата равна 1.
Площадь аддитивна.
Площадь неотрицательна.
аддитивность
площади означает, что площадь целого равен сумме …составляющих его
частей.
Слайд 4
Докажем, что площадь квадрата со стороной а равна
а2.
1 случай.
а=1/n, где n- нат.число. Возьмем квадрат со стороной
1 и разобьем его на n2 равных квадратов, как на рисунке.
Так как площадь большого
квадрата равна 1, то площадь
каждого маленького
квадрата...
Слайд 5
Сторона каждого маленького квадрата равна…, т.е. равна а.
Итак, S= 1/n2 = (1/n)2 =a2 (1)
Случай 2.
Пусть теперь а представляет собой конечную десятичную дробь, содержащую n знаков после запятой, так же число а может быть целым, и тогда n=0. Тогда число квадратиков на каждой стороне m=а*10n . Разобьем данный квадрат со стороной а на m2 равных квадратов, как на рисунке.
Слайд 6
При этом каждая сторона данного квадрата разобьется на
m равных частей, и, значит, сторона любого маленького квадрата
равна
а/m=a/a*10n =1/10n
По формуле(1) площадь маленького квадрата равна (1/10n )2 .
Слайд 7
Следовательно, площадь данного квадрата равна
m2
* (1/10n)2 =(m/10n)2= (a*10n/10n)2= a2 .
Пусть число а представляет
собой бесконечную десятичную дробь. Рассмотрим число аn, получаемое из а отбрасыванием всех десятичных знаков после запятой, начиная с(n+1)-го. Так как число а отличается от аn не более чем на 1/10n, то аn ≤ а ≤ аn + 1/10n , откуда аn2 ≤ а2 ≤ (аn + 1/10n )2 . (2)
Слайд 8
Площадь данного квадрата заключена между площадью квадрата со
стороной аn и площадью квадрата со стороной аn +
1/10n
аn2 ≤ S ≤ (аn + 1/10n )2 (3)
а
аn + 1/10n
аn
Слайд 9
Будем неограниченно увеличивать число n. Тогда число 1/10n
, будет становиться сколь угодно малым, и, значит, число
(аn + 1/10n )2 будет сколь угодно мало отличаться от числа аn2 . Поэтому из неравенств (2) и (3) следует, что число S сколь угодно мало отличается от числа а2 . Следовательно, эти числа равны: S= а2 , Ч.Т.Д.
Слайд 10
Теорема Пифагора.
Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем
евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.
Слайд 11
Формулировки
Геометрическая формулировка:
Изначально теорема была сформулирована следующим образом:
В прямоугольном
треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей
квадратов, построенных на катетах.
Слайд 12
Алгебраическая формулировка:
В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен
сумме квадратов длин катетов.
То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника
через c, а длины катетов через a и b:
Слайд 13
Обе формулировки теоремы эквивалентны, но вторая формулировка более
элементарна, она не требует понятия площади. То есть второе
утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и измерив только длины сторон прямоугольного треугольника.
Обратная теорема Пифагора:
Для всякой тройки положительных чисел a, b и c, такой, что a2 + b2 = c2, существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c.