Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.


Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация на тему Понятие двойного интеграла

Что значит вычислить двойной интеграл? Вычислить двойной интеграл – это значит найти ЧИСЛО. Самое обычное число: И крайне желательно найти его правильно =)Результат (число  ) может быть отрицательным. И ноль тоже запросто может получиться. Специально
Понятие двойного интеграла Понятие двойного интегралаДвойной интеграл в общем виде записывается следующим Что значит вычислить двойной интеграл? Вычислить двойной интеграл – это значит найти ЧИСЛО. Как вычислить двойной интеграл? Для того чтобы вычислить двойной интеграл, его необходимо Алгоритм решения двойного интеграла: Систематизируем информацию: в каком порядке нужно решать рассматриваемую ПримерДан двойной интеграл            с Луч лазера проходит область интегрирования строго снизу вверх, то есть указку вы ВСЕГДА Как вычислить площадь плоской фигуры с помощью двойного интеграла? Начинаем рассматривать собственно 1) Вычислим внутренний интеграл, при этом интегрирование проводится по переменной «игрек»: Используемая литератураhttp://www.mathprofi.ru
Слайды презентации

Слайд 2 Что значит вычислить двойной интеграл?

Вычислить двойной интеграл –

Что значит вычислить двойной интеграл? Вычислить двойной интеграл – это значит найти

это значит найти ЧИСЛО. Самое обычное число: И крайне желательно

найти его правильно =)
Результат (число  ) может быть отрицательным. И ноль тоже запросто может получиться. Специально остановился на данном моменте, поскольку немало студентов испытывают беспокойство, когда ответ получается «шото вроде как странный».
Многие помнят, что «обычный» определённый интеграл – тоже число. Здесь всё так же. У двойного интеграла существует и отличный геометрический смысл, но об этом позже, всему своё время.

Слайд 3 Как вычислить двойной интеграл?
Для того чтобы вычислить двойной

Как вычислить двойной интеграл? Для того чтобы вычислить двойной интеграл, его

интеграл, его необходимо свести к так называемым повторным интегралам.

Сделать это можно двумя способами. Наиболее распространён следующий способ:


Вместо знаков вопроса необходимо расставить пределы интегрирования. Причём одиночные знаки вопроса   у внешнего интеграла – это числа, а двойные знаки вопроса   у внутреннего интеграла – это функции одной переменной  , зависящие от «икс».
Откуда взять пределы интегрирования? Они зависят от того, какая в условии задачи дана область  . Область   представляет собой обычную плоскую фигуру, с которой вы неоднократно сталкивались, например, при вычислении площади плоской фигуры иливычислении объема тела вращения. Очень скоро вы узнаете, как правильно расставлять пределы интегрирования.
После того, как переход к повторным интегралам осуществлён, следуют непосредственно вычисления: сначала берётся внутренний интеграл  , а потом – внешний. Друг за другом. Отсюда и название – повторные интегралы.
Грубо говоря, задача сводится к вычислению двух определённых интегралов. Как видите всё не так сложно и страшно, и если вы совладали с «обыкновенным» определённым интегралом, что мешает разобраться с двумя интегралами?!
Второй способ перехода к повторным интегралам встречается несколько реже:
Что поменялось? Поменялся порядок интегрирования: теперь внутренний интеграл берётся по «икс», а внешний – по «игрек». Пределы интегрирования, обозначенные звёздочками –будут другими! Одиночные звёздочки внешнего интеграла – это числа, а двойные звёздочки внутреннего интеграла – это обратные функции  , зависящие от «игрек».
Какой бы мы ни выбрали способ перехода к повторным интегралам, окончательный ответ обязательно получится один и тот же:

Слайд 4 Алгоритм решения двойного интеграла:
Систематизируем информацию: в каком порядке

Алгоритм решения двойного интеграла: Систематизируем информацию: в каком порядке нужно решать

нужно решать рассматриваемую задачу?
1) Необходимо выполнить чертёж. Без чертежа задачу

не решить. Точнее, решить можно, но это будет похоже на игру в шахматы вслепую. На чертеже следует изобразить область  , которая представляет собой плоскую фигуру. Чаще всего фигура незамысловата и ограничена какими-нибудь прямыми, параболами, гиперболами и т.д. Как быстро и грамотно выполнить чертёж, можно посмотреть в методическом материале Графики и основные свойства элементарных функций. Итак, этап первый – выполнить чертёж.
2) Расставить пределы интегрирования и перейти к повторным интегралам.
3) Взять внутренний интеграл
4) Взять внешний интеграл и получить ответ (число).


Слайд 5 Пример
Дан двойной интеграл   

ПримерДан двойной интеграл        с областью интегрирования  .

 с областью интегрирования  .
Перейти к

повторным интегралам и расставить пределы интегрирования двумя способами.
Решение: Изобразим область интегрирования на чертеже: 











Обычная плоская фигура и ничего особенного.
Теперь я выдам каждому из вас орудие труда – палку-копалку лазерную указку. Задача состоит в том, чтобы просканировать лучом лазера каждую точку заштрихованной области:  
.



Слайд 6 Луч лазера проходит область интегрирования строго снизу вверх, то

Луч лазера проходит область интегрирования строго снизу вверх, то есть указку вы

есть указку вы ВСЕГДА держите ниже плоской фигуры. Луч входит в

область через ось абсцисс, которая задаётся уравнением    и выходит из области через параболу    (красная стрелка). Чтобы просветить всю область, вам нужно строго слева направо провести указкой вдоль оси  ОХ  от 0 до 1 (зелёная стрелка).
Итак, что получилось: «игрек» изменяется от 0 до  ; «икс» изменяется от 0 до 1.
В задачах вышесказанное записывают в виде неравенств:
Данные неравенства называют порядком обхода области интегрирования или простопорядком интегрирования
После того, как мы разобрались с порядком обхода, можно перейти от двойного интеграла к повторным интегралам:
Половина задачи решена. Теперь необходимо перейти к повторным интегралам вторым способом. Для этого следует найти обратные функции. Кто ознакомился со вторым параграфом урока Объем тела вращения, тому будет легче. Смотрим на функции, которыми задается область  . Если совсем просто, то перейти к обратным функциям, это значит – выразить «иксы» через «игреки». Единственной функцией, где есть и «икс» и «игрек», является  .
Если  , то  , причём: обратная функция    задает правую ветку параболы; обратная функция    задает левую ветку параболы.
Нередко возникают сомнения, вот, к примеру, функция    определяет левую или правую ветвь параболы? Сомнения развеять очень просто: возьмите какую-нибудь точку параболы, например,  (1,1)  (с правой ветви) и подставьте её координаты в любое уравнение, например,  в то же уравнение  :
Получено верное равенство, значит, функция    определяет именно правую ветвь параболы, а не левую.

.


Слайд 7 Как вычислить площадь плоской фигуры с помощью двойного

Как вычислить площадь плоской фигуры с помощью двойного интеграла? Начинаем рассматривать

интеграла?
Начинаем рассматривать собственно процесс вычисления двойного интеграла   

и знакомиться с его геометрическим смыслом.

Двойной интеграл    численно равен площади плоской фигуры D (области интегрирования). Это простейший вид двойного интеграла, когда функция двух переменных равна единице:  .
Сначала рассмотрим задачу в общем виде. Сейчас вы немало удивитесь, насколько всё действительно просто! Вычислим площадь плоской фигуры D ,ограниченной линиями  .
Для определённости считаем, что    на отрезке  . Площадь данной фигуры численно равна:
Изобразим область  D  на чертеже:











Выберем первый способ обхода области:
Таким образом: 

И сразу важный технический приём: повторные интегралы можно считать по отдельности. Сначала внутренний интеграл, затем – внешний интеграл. Данный способ настоятельно рекомендую начинающим в теме чайникам.

.


:


Слайд 8 1) Вычислим внутренний интеграл, при этом интегрирование проводится

1) Вычислим внутренний интеграл, при этом интегрирование проводится по переменной «игрек»:

по переменной «игрек»:
Неопределённый интеграл тут простейший, и далее

используется банальная формула Ньютона-Лейбница, с той лишь разницей, что пределами интегрирования являются не числа, а функции. Сначала подставили в «игрек» (первообразную функцию) верхний предел, затем – нижний предел
2) Результат, полученный в первом пункте необходимо подставить во внешний интеграл:
Более компактная запись всего решения выглядит так:

Полученная формула    – это в точности рабочая формула для вычисления площади плоской фигуры с помощью «обычного» определённого интеграла! 

  • Имя файла: ponyatie-dvoynogo-integrala.pptx
  • Количество просмотров: 124
  • Количество скачиваний: 0