Презентация на тему Построение графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля

выражение y=|f(x)| равносильно системе

f(x), если f(х)0,
Y=
-f(x), если f(x)<0.
Значит, для того чтобы построить график функции y=|f(x)|, нужно построить сначала график функции y=f(x), ту часть графика, которая расположена выше оси Х, оставить без изменений, а расположенную ниже - отобразить симметрично относительно оси Х.

график функции у=х-3:
При х=о у=-3,
при х=3 у=0(рис.1а).
Часть графика, расположенную

ниже оси абсцисс, отобразим симметрично относительно оси Х, а другую - оставим без изменений. Полученный график -искомый(рис.1б).

график функции у=|x|(рис.1в), перенесенный на 3 единицы вправо по

оси Х(рис.1г).

из графика функции у=|х| переносом его на а единиц

по оси Х вправо, если a<0, или влево, если а>0, и на b единиц по оси У вверх, если b>0, или вниз, если b<0

у=|х+5|-2 можно получить из графика функции у=|х| путем переноса

его на 5 единиц влево по оси Х и на 2 единицы вниз по оси У(рис.2).

выражение y=f(|x|) равносильно системе
f(x), если х≥0,
у=

f(-x), если х<0.
Значит, чтобы построить график функции y=f(|x|), нужно сначала построить график функции y=f(|x|), часть графика, расположенную в правой полуплоскости (правее оси абсцисс) оставить без изменений и отобразить её симметрично оси У, отбросив часть графика, расположенную в левой полуплоскости.

модуля, х2=|х|2, значит у=х2-2|х|-3 можно представить в виде у=|х|2-2|х|-3.

Тогда для того чтобы построить график у=х2-2|х|-3 нужно построить график функции у=х2-2х-3:
х0=-b/2a=-(-2)/2=1, y0=y(1)=1-2-3=-4,
ось параболы х=1, её вершина имеет координаты (1;-4),
при у=0 х=3 или х=-1,
при х=0 у=-3(рис.3а).
Теперь оставим без изменений часть графика, расположенную в правой полуплоскости, и отобразим её симметрично относительно оси У(другую часть графика отбросим)(рис.3б).

функций такого вида нужно найти нули каждой функции под

знаком модуля и нанести их на координатную прямую. На каждом из полученных промежутков необходимо раскрыть модули по определению, т.е. в зависимости от знака функции под модулем на данном промежутке. Затем нужно построить каждую из полученных функций у на их области определения; полученный график - искомый.

Найдем нули функций под модулем: f(x)=x-1=0, если х=1; g(x)=х+3,

если х=-3. Нанесём их на координатную прямую, они разобьют ее на три промежутка(рис.4а). На каждом из них раскроем модули, получим:
1-х+х+3, если х<-3, у= 1-х-х-3, если -3х<1,
х-1-x-3, если х1.
4, если х<-3,
У= -2х-2, если -3х<1,
-4, если х1.
Построим график функции у(рис.4б)

функции необходимо сначала построить график функции внутреннего модуля(у=|f(x)|), потом

преобразовать его в график у=||f(x)|+a|, затем - в график у=|||f(x)|+a|+b|, т.е. последовательно раскрывать модули, начиная с внутреннего.

графика проведем в три шага:
1.Построим график функции у=|x-1|.

Его можно получить из графика функции у=|x| параллельным переносом по оси х на 1 единицу вправо(рис.5а).
2.Построим график функции у=|x-1|-2(рис.5б).
3.Построим график функции у=||x-1|-2|(рис.5в).

у=а|f(x)|. Тогда график функции у=а|f(x)| можно получить из графика

функции у=|f(x)|
его сжатием в а раз к оси у, если а>1;
его растяжением в 1/а раз к оси у, если 1симметрией относительно оси х, если а<0.

проведем в 3 шага:
1.Сначала построим график функции

у=|x+1|(рис.6а).
2.Построим график функции у=2|x+1| - сжатие графика у=|x+1| в 2 раза к оси у(рис.6б).
3.Построим график функции у=-2|x+1| - симметрия предыдущего графика относительно оси х(рис.6в).

и наносим их на координатную прямую. Раскрываем модуль на

получившихся промежутках по определению и перемножаем функции.

функции f(x)=|х| х=0 делит координатную прямую на два промежутка

- (-;0) и[0;+); на каждом из них раскроем модуль:
х2+2x, если х0,
У=
-(х2+2х), если х<0.
Построим график функции у.(рис.7)

выражение |у|=f(x) равносильно системе
y,

если y0,
f(x)=
-y, если у<0.
Значит, чтобы построить график функции |у|=f(x), необходимо сначала построить график функции у=f(x), его часть, расположенную выше оси Х, оставить без изменений и , отбросив часть, расположенную ниже оси Х, отобразить симметрично относительно оси Х.

график у=х2-1(рис.8а).
Часть графика, расположенную выше оси Х, без изменений

и отобразим её симметрично относительно оси х(другую часть графика уберём).(рис.8б)

построения графиков функций такого вида нужно построить график функции

y=f(x) и применить операцию модуль сначала для правой части(построить графики функций у=f(|x|) или у=|f(x)| соответственно), а потом для левой (применить операцию модуль, как описано в 6 пункте.

|y|=f(|x|) и |y|=|f(x)|.
Решение.Построение |y|=f(|x|): сначала построим график y=f(|x|)(рис.9б), потом

график функции |y|=f(|x|)(рис.9в).