Презентация на тему Прикладные задачи на экстремумы

был бы виден смысл какого-нибудь максимума или минимума. Л.

Эйлер.

«наибольшее значение», «наименьшее значение», «выгодное», «наилучшее», и меня заинтересовало

решение таких задач. Оказывается, что в математике исследование задач на максимум и минимум началось очень давно – двадцать пять веков назад. Долгое время к задачам на отыскание экстремумов (с лат. «экстремум» – «крайний») не было единых подходов.

первые общие методы решения и исследования задач на экстремумы.

Тогда же выяснилось, что некоторые специальные задачи оптимизации играют очень важную роль в естествознании. Задачи на максимум и минимум на протяжении всей истории математики играли важную роль в развитии этой науки.

важных, ярких и интересных задач в геометрии алгебре и

других науках. В решении конкретных задач принимали участие крупнейшие учёные прошлых эпох: Евклид, Архимед, Аполлоний, Герон, Торричелли, Иоганн и Якоб Бернулли, Исаак Ньютон и многие другие. Решение конкретных задач стимулировало развитие теории, и в итоге были выработаны приёмы, позволяющие единым методом решать задачи самой разнообразной природы.

функция», «Рациональные дроби», «Неравенства», «Системы линейных уравнений и неравенств»,

«Квадратичная функция», «Последовательности и арифметическая прогрессия». На примере нескольких задач я расскажу о нахождении наибольшего и наименьшего значения в темах «Линейная функция», «Системы линейных неравенств и уравнений», «Рациональные дроби», «Квадратичная функция» и «Геометрия».

на экстремумы встречаются в теме «Линейная функция». Вот одна

из них:
Имеются ящики, в которые нужно упаковать 78 самоваров. Одни ящики вмещают 3 самовара, другие – 5 самоваров. Какое наименьшее количество ящиков нужно использовать, чтобы упаковать все самовары (недогрузка не допускается)?

других – через у. Тогда условие задачи даёт неопределённое

уравнение вида 3х+5у=78. Пары чисел (26; 0), (21; 3), (16;6), (11; 9), (6; 12), (1; 15) являются решениями данного уравнения. (1;15) – оптимальное решение задачи.
Ответ: нужно использовать 16 ящиков.

делал 10 выстрелов. За каждое попадание он получал 5

очков, за каждый промах снималось 2 очка. Победителем считался тот, кто набрал не менее 30 очков. Сколько раз стрелок должен был попасть в мишень, чтобы быть в числе победителей?

попаданий через х, число промахов – через у, получим

неравенство 5х-2у≥30. Составим систему 5х-2у≥30, 5х-20+2х≥30, х>7, х+у=10; у=10-х; у<3. Решив систему получаем, что х={8,9,10}; y={2,1,0}. (8;2)–оптимальное решение. Ответ: наименьшее число попаданий – 8.

колесе выдерживает пробег в 24000 км, а шина на

переднем колесе– в16000 км. Какой максимальный путь можно совершить на этих шинах?
Решение: Износ шины на заднем колесе будет равен 1/16000 км, а износ шины на переднем колесе – 1/24000 км. Износ шин на обоих колёсах равен:1/16000+1/24000=1/9600. Максимальный путь равен 1/(1/9600)∙2=19200 (км).

функции: В прямоугольный треугольник с гипотенузой 16 см и

углом 600 вписан прямоугольник, основание которого лежит на гипотенузе. Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

КА=х√3/3. Треугольник АВС подобен треугольнику МВL по двум углам.

Составим отношение между сторонами треугольников: ВL:ВС=МL:АС. По теореме Пифагора ВС=8√3. Находим, что ВL=х√3. КL=16-4х√3:3. Площадь прямоугольника находим по формуле: S=x(16-4√3x/3)=-4√3х2/3+16х=-4√3:3(х-2√3)2 +16√3. Площадь будет наибольшей при х=2√3. Значит, КL=16(4∙2√3∙√3):3=8(см). Ответ: 2√3см и 8см.

В методе оценки следует коснуться неравенства Коши для нескольких

переменных: √а1а2…аn≤(а1+а2+…+аn)/n.
На одном из предприятий стоимость х деталей, изготовленных рабочим сверхурочно, определяется по формуле у=0,1х2+0,5х+2. Определите количество деталей, при котором себестоимость одной детали была бы наименьшей.

2: (0,1х2+0,5х+2)/х=0,5+0,1х+2/х. Из трёх величин одна постоянная (0,5), а

две другие – переменные. Среднее геометрическое для переменных 0,1х и 2/х равно √0,2. Используя неравенство Коши для двух переменных получаем: 0,5+(2/х+0,1х)≥0,5+2√0,8; 0,5+(2/х+0,1х)≥0,5+√0,8. Левая часть неравенства принимает наименьшее значение равное 0,5+√0,8 .

так как х – это количество деталей, то х=4

или х=5.
Ответ: 4 или 5 деталей.

составляют задачи на преобразование плоскости. Основной задачей является старинная

задача, написанная в I веке до н. э. Вот как она звучит:
Даны две точки А и В по одну сторону от прямой ℓ. Требуется найти на ℓ такую точку D, чтобы сумма расстояний от А до D и от В до D была наименьшей.

относительно прямой ℓ. Соединим А с В1. Тогда точка

D пересечения АВ1 с прямой ℓ – искомая. Действительно, для любой точки D`, отличной от D, имеет место неравенство: AD`+ D`B1>AB1 (т.к. в треугольнике сумма двух сторон больше третьей стороны); AD`+D`B>AD+DB.