Презентация на тему Применение производной к исследованию функций

теории невозможна или пагубна. Для теории нужны знания, для

практики, сверх всего того, и умение. А.Н. Крылов (Русский советский математик, кораблестроитель, академик )

функциональной зависимости.
Понятие функции – важнейшее понятие математики. Слово

«функция» (от латинского «Functio» - исполнение обязанностей, деятельность) впервые ввел немецкий
ученый Г. Лейбниц.

если для любого значения x, взятого из области определения

функции, значение (–x) также принадлежит области определения и выполняется равенство f(-x) = f(x)

четная функция определена на множестве, симметричном относительно начала координат.
График четной функции симметричен относительно оси ординат

у

х

0

= f(x) называется нечетной, если для любого значения x,

взятого из области определения функции, значение
(–x) также принадлежит области определения и выполняется равенство f(-x) = -f(x)

График нечетной функции симметричен относительно начала координат

повторение

существует такое число T ≠ 0, что для любого

значения x, взятого из области определения, значения x + T и x – T также принадлежат области определения и выполняется равенство
f(x) = f(x + T) = f(x – T)

y

1

2

4

3

-1

T

y = f(x)

Периодичность функций

повторение

f(x).

Нули функции
Определение: Нулем функции называется такое действительное значение

x, при котором значение функции равно нулю.
Для того, чтобы найти нули функции, следует решить уравнение f(x) = 0 Действительные корни этого уравнения являются нулями функции y = f(x)

Нули функции представляют собой абсциссы точек, в которых график этой функции
либо пересекает ось абсцисс,
либо касается ее,
либо имеет общую точку с этой осью, ординаты данных точек нулевые

повторение

сохраняет свой знак и не обращается в нуль, называются

промежутками знакопостоянства.
Над этими промежутками график функции лежит выше оси абсцисс, если f(x) > 0, и ниже оси абсцисс, если f(x) < 0

повторение

увеличением аргумента значение функции увеличивается, и монотонно убывающей, если

с увеличением аргумента значение функции уменьшается.

y = f(x)

повторение

положительна, то функция на этом промежутке возрастает,

т.е.f’(x)>0, f(x)⭧
Если производная функции в каждой точке некоторого промежутка отрицательна, то функция на этом промежутке убывает, т.е.f’(x)<0, f(x)⭨
Если производная функции в каждой точке некоторого промежутка равна 0, то функция на этом промежутке постоянна

Связь производной с монотонностью функции

нулю или не существует
Критические точки функции -
(4: 1/2)
f’(xi)=kкас =0,

касат II OX, перегиб графика, смена поведения

Нет производной

промежутки возрастания и убывания функции f(x)=х3 -3х2 +2
Решение:
1) f

’(x)=(x3-3x2+2)’=3х2-6х=3х(х-2)
2)Находим критичекие точки: f’(x)=0, т.е.
3х(х-2)=0 при х=0 х=2
3) Исследуем знак производной методом интервалов



Ответ: f (x)⭧ на (-∞; 0)∪ (2;∞)
f (x)⭨ на (0;2)

функции f(x), если в некоторой окрестности точки х0 выполняется

неравенство

Окрестностью точки х0 - называется промежуток, для которого точка х0 является внутренней.

) функции f(x), если в некоторой окрестности точки х1

выполняется неравенство

Точки минимума и максимума называются
точками экстремума (крайние, конечные)
Значения функции в точках х0 и х1
называются соответственно
максимумом и минимумом функции (ymin и ymax)

Максимум и минимум функции называется
экстремумом функции