Презентация на тему Применение производной к исследованию и построению графиков функций

и построении графиков

1.
(Cu)’=Cu’
(u/v)=(u’v-v’u)/v²
(cos x)’=-sin x
tg x=1/cos² x
(ex)’=ex
Вариант 2.
C’=0
(uv)’=(u’v+v’u)
(sin x)’=cos x
ctg x=-1/sin²

x
(xn)’=n*xn-1

функции, является нахождение промежутков монотонности функции (промежутков возрастания и

убывания). Такой анализ легко сделать с помощью производной.

в точках этого интервала большему значению аргумента соответствует большее

значение функции, и убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

интервалах
возрастающая и убывающая на интервалах

интервале, то производная этой функции не отрицательна (не положительна)

в этом интервале.

Теорема 1.

интервале, то функция в этом интервале монотонно возрастает (монотонно

убывает).

Теорема 2.

функции.
Находим точки, в которых f’(x)=0 или не существует. Эти

точки называются критическими для функции f(x).
Делим область определения функции этими точками на интервалы. Они являются интервалами монотонности.
Исследуем знак f’(x) на каждом интервале. Если f’(x)›0, то на этом интервале f(x) возрастает; если f’(x)‹0, то на таком интервале функция f(x) убывает.

Правило нахождения интервалов монотонности

критические точки: y’=0.
x²-x-6=0
Д=1-4*(-6)*1=1+24=25


Делим область определения на интервалы:


Функция

возрастает при xϵ(-∞;-2]υ[3;+∞), функция убывает при xϵ[-2;3].

Пример №1. Найти промежутки монотонности функции y=2x³-3x²-36x+5

критические точки: y’=0.
x²-2x=0
x(x-2)=0
x1=0 и x2=2
Делим область определения на

интервалы:


Функция возрастает при xϵ(-∞;0]υ[2;+∞), функция убывает при xϵ[0;2].

Пример №2. Найти промежутки монотонности функции y=x³-3x²

у этой точки существует окрестность, для всех точек которой

выполняется неравенство f(x)≥f(x0).
Точку x=x0 называют точкой максимума функции y=f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x)≤f(x0).

то в этой точке производная функции или равна нулю,

или не существует.

Теорема 3.

меняет знак, то точка x0 является точкой экстремума функции

f(x).
Если производная меняет знак с + на –, то точка будет являться точкой максимума, если с – на +, то точка будет точкой минимума

Теорема 4.

критические точки: y’=0.
-x²-x+2=0
Д=1-4*(-1)*2=1+8=9
x1=1; x2=-2
Делим область определения на интервалы:

x=-2 – точка минимума. Найдём минимум функции ymin=-24. x=1 – точка максимума. Найдём максимум функции: ymax=3.

Пример №3. Найти экстремумы функции y=-2x³-3x²+12x-4

функцию y=x2+2.
Решение:
Находим область определения функции: D(y)=R.
Находим производную: y’=(x2+2)’=2x.
Приравниваем её

к нулю: 2x=0, откуда x=0 – критическая точка.
Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале:




x=0 – точка минимума. Найдём минимум функции ymin=2.

область определения функции: D(y)=R.
Находим производную: y’=(1/3x3-2x2+3x+1)’=x2-4x+3.
Приравниваем её к нулю:

x2-4x+3=0, откуда x1=1, x2=3 – критические точки.
Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале:




x=1 – точка максимума. Найдём максимум функции ymax=7/3. x=3 – точка минимума. Найдём минимум функции: ymin=1.

область определения функции: D(y)=R.
Находим производную: y’=(x3+3x2+9x-6)’=3x2+6x+9.
Приравниваем её к нулю:

3x2+6x+9=0, откуда D<0. То есть критических точек не существует.
Однако, функция возрастает на всей D(y), так как y’=3x2+6x+9 >0:

область определения функции: D(y)=R.
Находим производную: y’=(x2-x-6)’=2x-1.
Приравниваем её к нулю:

2x-1=0, откуда x=1/2 – критическая точка.
Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале:




x=1/2 – точка минимума. Найдём минимум функции: ymin=-6,25.