Презентация на тему Непрерывность функции

Определение:

Функция  называется непрерывной в точке , если: функция  определена в точке  и ее окрестности; существует конечный предел функции  в точке ; это предел равен значению функции в точке , т.е. 

она непрерывна в каждой точке этого множества.
Если

функция непрерывна в каждой точке отрезка [a, b], то она непрерывна на этом отрезке, причем непрерывность в точке а понимается как непрерывность справа, а непрерывность в точке b – как непрерывность слева.

Теорема: Функция непрерывна в точке тогда

и только тогда, когда бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции в этой точке, то есть если

существуют и конечны, но не равны друг другу, то точку называют точкой разрыва первого рода. При этом величину

называют скачком функции в точке .

, но в точке функция либо не определена, либо ,то эта точка является точкой устранимого разрыва. Последнее объясняется тем, что если доопределить или видоизменить функцию , положив
,
то получится непрерывная в точке функция.

функции, не являющаяся точкой разрыва первого рода или точкой

устранимого разрыва, является точкой разрыва второго рода.
точки разрыва второго рода - это точки, в которых функция стремится к бесконечности. Например,

в точке х=1 имеет разрыв 2-го рода.

то она достигает на этом отрезке наименьшего значения м

и наибольшего значения М

значения ее на концах отрезка f(a) и f(b) имеют

противоположные значения то внутри отрезка найдется точка E, f(c)=0