Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.

Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть

Презентация на тему Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом

Содержание

2. Решение симплекс-методом экономической задачи.
3. Решение Составим ЦФ и ограничения. Найти максимум функции
4. Запишем задачу в форме основной задачи линейного программирования. Введем дополнительные переменные по числу ограничений
5. Теперь запишем задачу в векторной форме.
6. Так как есть три единичных
8. Полученный опорный план проверяем на оптимальность. Вычисляем значение целевой функции и симплекс-разности.
9. Как видно из 0-й таблицы
10. Отрицательные числа не только свидетельствуют
11. Если включить в план
12. Найдем число
13. Так как сырья каждого вида
14. Составляем следующую таблицу. В ней
16. Подсчитаем симплекс-разности и заполним 4-ю
17. Имеется одна отрицательная оценка -2.
18. Разрешающими будут 1-я строка и
20. В этом мы убеждаемся , вычисляя симплекс-разности
21. Оптимальным планом производства не предусмотрен
22. ДВОЙСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ Каждой
23. Известны нормы затрат каждого ресурса
24. Задача сводится к нахождению неотрицательных
25. В математической форме задача записывается следующем виде: при условиях
26. По этим же исходным данным
27. Если обозначить через
28. т.е.какова должна быть оценка единицы
29. Мат. модель двойственной задачи В математической форме задача записывается в виде: при ограничениях
30. Экономический смысл переменных двойственной задачи Переменные
31. Двойственные задачи линейного программирования называют
32. в каждой задаче система ограничений
33. Решение симметричных двойственных задач Первая
34. Экономическое содержание первой теоремы двойственности
35. Метод одновременного решения пары двойственных задач Исходная задача: Двойственная задача:
36. Число переменных в задачах одинаково
38. При решении ЗЛП табличным симплекс-методом
39. Пример. Сформулируем модель задачи, двойственной к
41. Переменные исходной задачи
42. Рассмотрим последнюю таблицу исходной задачи
43. Скачать презентацию
44. Похожие презентации

Решение симплекс-методом экономической задачи.

Главная
Математика
Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом

Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методомЛекции 8, 9

Решение симплекс-методом экономической задачи.

Решение Составим ЦФ и ограничения. Найти максимум функции

Запишем задачу в форме основной задачи линейного программирования. Введем дополнительные переменные по числу ограничений

Теперь запишем задачу в векторной форме.

Так как есть три единичных вектора , то можно сразу

Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом

Полученный опорный план проверяем на оптимальность. Вычисляем значение целевой функции и симплекс-разности.

Как видно из 0-й таблицы отличными от нуля являются переменные

Отрицательные числа не только свидетельствуют о возможности увеличения общей стоимости

Если включить в план производства по одному изделию В

Так как сырья каждого вида имеется соответственно 360, 192 и

Составляем следующую таблицу. В ней разрешающей является вторая строка, а

Подсчитаем симплекс-разности и заполним 4-ю строку таблицы. При данном

Имеется одна отрицательная оценка -2. План можно улучшить. Введем в

Разрешающими будут 1-я строка и 2-й столбец. Разрешающий элемент 9.

В этом мы убеждаемся , вычисляя симплекс-разности

Оптимальным планом производства не предусмотрен выпуск изделий А. Введение в

ДВОЙСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ Каждой ЗЛП можно поставить в соответствие

Известны нормы затрат каждого ресурса на единицу каждого вида продукции,

Задача сводится к нахождению неотрицательных переменных

В математической форме задача записывается следующем виде: при условиях

По этим же исходным данным может быть сформулирована другая задача.

Если обозначить через цены, по которым предприятие В

т.е.какова должна быть оценка единицы каждого из ресурсов

Мат. модель двойственной задачи В математической форме задача записывается в виде: при ограничениях

Экономический смысл переменных двойственной задачи Переменные двойственной

Двойственные задачи линейного программирования называют симметричными, если они удовлетворяют следующим

в каждой задаче система ограничений задается в виде неравенств, причем,

Решение симметричных двойственных задач Первая теорема двойственности.

Экономическое содержание первой теоремы двойственности Если задача определения

Метод одновременного решения пары двойственных задач Исходная задача: Двойственная задача:

Число переменных в задачах одинаково и равно m + n.

При решении ЗЛП табличным симплекс-методом решение двойственной задачи содержится в

Пример. Сформулируем модель задачи, двойственной к задаче из примера 2 (начало

Рассмотрим последнюю таблицу исходной задачи

Слайды презентации

Слайд 2 Решение симплекс-методом экономической задачи.

Слайд 3 Решение
Составим ЦФ и ограничения.

Найти максимум функции

Слайд 4 Запишем задачу в форме основной задачи

линейного программирования. Введем дополнительные переменные по числу ограничений

Слайд 5 Теперь запишем задачу в векторной форме.

Слайд 6 Так как есть три единичных вектора

, то можно сразу записать опорный план

Х=(0,0,0,360,192,180).
Составим нулевую симплекс-таблицу

Слайд 7

Слайд 8 Полученный опорный план проверяем на оптимальность.
Вычисляем

значение целевой функции и симплекс-разности.

Слайд 9 Как видно из 0-й таблицы отличными

от нуля являются переменные

а равны нулю, т.к. они небазисные, а свободные. Дополнительные же переменные
принимают свои значения в соответствии с ограничениями.
Эти значения переменных отвечают такому «плану», при котором ничего не производится, сырье не используется и значение целевой функции равно нулю, т. е. стоимость произведенной продукции отсутствует.
Такой план, конечно, не является оптимальным. Это видно и из 4-й строки таблицы, в которой имеется три отрицательных оценки -9, -16 и -10.

Слайд 10 Отрицательные числа не только свидетельствуют о

возможности увеличения общей стоимости производимой продукции (в столбцах над

отрицательными оценками стоят положительные числа), но и показывают, на сколько увеличится эта сумма при введении в план единицы того или иного вида продукции.
Так, число -9 означает, что при включении в план производства одного изделия А обеспечивается увеличение стоимости продукции на 9 д.е.

Слайд 11 Если включить в план производства

по одному изделию В и С, то общая стоимость

изготовляемой продукции возрастет соответственно на 10 и 16 д.е. Поэтому с экономической точки зрения целесообразным является включение в план изделий С.
Это же необходимо сделать и с той точки зрения, что -16 является наименьшей отрицательной оценкой. Значит, в базис введем вектор .

Слайд 12 Найдем число

Найдем число . Введем его в последний столбец

.

Введем его в последний столбец таблицы. Число

24 соответствует вектору .
192/8=24 с экономической точки зрения означает, какое количество изделий С предприятие может изготовлять с учетом норм расхода и имеющихся объемов сырья каждого вида.

Слайд 13 Так как сырья каждого вида имеется

соответственно 360, 192 и 180 кг, а на одно

изделие С требуется затратить сырья каждого вида 12, 8 и 3 кг, то максимальное число изделий С, которое может быть изготовлено предприятием равно min{360/12,192/8,180/3}=192/8=24, т.е. ограничивающим фактором для производства изделий С является имеющийся объем сырья 2-го вида. С учетом его предприятие может производить 24 изделия С.При этом сырье 2-го вида будет полностью использовано и , значит, вектор подлежит исключению из базиса.

Слайд 14 Составляем следующую таблицу. В ней разрешающей

является вторая строка, а разрешающим столбцом –третий. На их

пересечении стоит элемент 8.
Разделим вторую строку на 8, а затем обнулим по методу Жордана- Гаусса или по формулам треугольника третий столбец.

Слайд 15

Слайд 16 Подсчитаем симплекс-разности и заполним 4-ю строку

Подсчитаем симплекс-разности и заполним 4-ю строку таблицы. При данном плане

таблицы.
При данном плане производства изготовляется 24 изделия

С и остается неиспользованным 72 кг сырья 1-го и 108 кг сырья 3-го вида. 2-й вид сырья использован полностью. Стоимость всей продукции при этом плане составляет 384 д.е. Указанные числа записаны в столбце План. Это опять параметры задачи, но они претерпели изменения. Изменились и данные других столбцов. Их экономическое содержание стало еще более сложным .

Слайд 17 Имеется одна отрицательная оценка -2. План

можно улучшить. Введем в базис вектор . Вычислим

Выводим из базиса .

Слайд 18 Разрешающими будут 1-я строка и 2-й

столбец. Разрешающий элемент 9. Разделим на 9 1-ю

строку , заполним 1-ю строку новой таблицы, затем обнулим 2-й столбец. Для этого умножим 1-ю строку на (-1/2) и прибавим ко 2-й, а затем умножим 1-ю строку на (-3/2) и прибавим к 3-й строке. Заполним таблицу 2.

Слайд 19

Слайд 20 В этом мы убеждаемся ,

вычисляя симплекс-разности

Слайд 21 Оптимальным планом производства не предусмотрен выпуск

изделий А. Введение в план выпуска продукции вида А

привело бы к уменьшению указанной общей стоимости . Это видно из 4-й строки столбца , где число 5 показывает, что при данном плане включение в него выпуска единицы изделия А приводит лишь к уменьшению общей величины стоимости на 5 д.е.
Итак, план предусматривает выпуск 8 изделий В и 20 изделий С. Сырье видов 1 и 2 используется целиком, а вида 3-неиспользованным остается 96 кг.

Слайд 22 ДВОЙСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Каждой ЗЛП

можно поставить в соответствие задачу, называемую двойственной к исходной

задаче.
Рассмотрим задачу об использовании ресурсов. Предположим, что предприятие А производит n видов продукции, величина выпуска которых определяется переменными
.
В производстве используются m различных видов ресурсов, объем которых ограничен величинами .

Слайд 23 Известны нормы затрат каждого ресурса на

единицу каждого вида продукции, образующие матрицу ,

а также стоимость единицы продукции каждого вида

Требуется организовать производство так, чтобы предприятию А была обеспечена максимальная прибыль.

Слайд 24 Задача сводится к нахождению неотрицательных переменных

,
при которых расход ресурсов не превышает заданного их количества, а стоимость всей продукции достигнет максимума.

Слайд 25 В математической форме задача записывается следующем

виде:

при условиях

Слайд 26 По этим же исходным данным может

быть сформулирована другая задача.
Предположим, что предприятие В

решило закупить все ресурсы, которыми располагает предприятие А. В этом случае предприятию В необходимо установить оптимальные цены на эти ресурсы, исходя из следующих условий:
общая стоимость ресурсов для предприятия В должна быть минимальной;
за каждый вид ресурса предприятию А надо уплатить не менее той суммы, которую это предприятие может получить при переработке данного вида ресурса в готовую продукцию.

Слайд 27 Если обозначить через
цены,

Если обозначить через цены, по которым предприятие В покупает

по которым предприятие В покупает ресурсы у предприятия А,

то задача сводится к следующему: найти такие значения переменных , при которых стоимость ресурсов, расходуемых на единицу любого вида продукции не меньше прибыли (цены) за эту единицу продукции, а общая стоимость ресурсов достигает минимума,

Слайд 28 т.е.какова должна быть оценка единицы каждого

из ресурсов

, чтобы при заданных объемах имеющихся ресурсов , при заданных стоимостях единицы продукции и нормах расходов минимизировать общую оценку затрат на всю продукцию.

Слайд 29 Мат. модель двойственной задачи
В математической форме задача

записывается в виде:

при ограничениях

Слайд 30 Экономический смысл переменных двойственной задачи
Переменные

Экономический смысл переменных двойственной задачи Переменные двойственной задачи в

двойственной задачи в литературе могут иметь

различные названия :учетные, неявные, теневые, объективно обусловленные оценки, двойственные оценки или «цены» ресурсов.
Эти две задачи образуют пару взаимно двойственных задач, любая из которых может рассматриваться как исходная. Решение одной задачи дает оптимальный план производства продукции, а решение другой – оптимальную систему оценок сырья, используемого для производства этой продукции.

Слайд 31 Двойственные задачи линейного программирования называют симметричными,

если они удовлетворяют следующим свойствам:
число переменных в

двойственной задаче равно числу ограничений исходной задачи, а число ограничений двойственной задачи равно числу равно числу переменных в исходной;
в одной задаче ищется максимум целевой функции, в другой – минимум;
коэффициенты при переменных в целевой функции одной задачи являются свободными членами системы ограничений другой задачи;

Слайд 32 в каждой задаче система ограничений задается

в виде неравенств, причем, в задаче на отыскание максимума,

все неравенства вида «≤», а в задаче на отыскание минимума, все неравенства вида «≥»;
матрица коэффициентов системы ограничений получается одна из другой путем транспонирования;
каждому ограничению одной задачи соответствует переменная другой задачи, номер переменной совпадает с номером ограничения;
условия не отрицательности переменных сохраняются в обеих задачах;

Слайд 33 Решение симметричных двойственных задач
Первая теорема двойственности.

Решение симметричных двойственных задач Первая теорема двойственности. Если

Если одна из двойственных

задач имеет оптимальное решение, то оптимальное решение имеет и другая задача, при этом значения целевых функций задач равны между собой.
Если целевая функция одной из задач не ограничена, то другая задача вообще не имеет решения

Слайд 34 Экономическое содержание первой теоремы двойственности

Экономическое содержание первой теоремы двойственности Если задача определения оптимального

Если задача определения оптимального плана , максимизирующего выпуск

продукции, разрешима, то разрешима и задача определения оценок ресурсов. Причем цена продукта, полученного в результате реализации оптимального плана , совпадает с суммарной оценкой ресурсов.
Совпадения значений целевых функций для соответствующих решений пары двойственных задач достаточно для того, чтобы эти решения были оптимальными.
Решая ЗЛП симплекс-методом, мы одновременно решаем и исходную и двойственную задачи.

Слайд 35 Метод одновременного решения пары двойственных задач
Исходная

задача: Двойственная задача:

Слайд 36 Число переменных в задачах одинаково и

равно m + n. В исходной задаче базисными переменными

являются вспомогательные неотрицательные переменные , а в двойственной задаче – вспомогательные неотрицательные переменные .
Базисным переменным одной задачи соответствуют свободные переменные другой задачи, и наоборот.

Слайд 37

Слайд 38 При решении ЗЛП табличным симплекс-методом решение

двойственной задачи содержится в последней строке таблицы.

Это .
Причем основные переменные двойственной задачи содержатся в столбцах, соответствующих дополнительным переменным исходной задачи, а дополнительные переменные двойственной задачи содержатся в столбцах, соответствующих основным (первоначальным ) переменным исходной задачи.