Презентация на тему Распределения дискретных и непрерывных случайных величин и их числовые характеристики

Задачи и упражнения по теории вероятностей: учебное пособие. М.:

Академия, 2003. – 448 с.
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие. – М.: Высшее образование, 2006. – 479 с.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие. – М.: Высшее образование, 2006. – 404 с.
Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. М.: Фазис, 1998. – 144 с.
http://e-lib.uspu.ru
www.exponenta.ru

величину, которая в результате испытания принимает значение  единственное,

заранее неизвестное т зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
Случайные величины (с.в.) принято обозначать большими буквами латинского алфавита (X, Y, Z, …), а значения, ими принимаемые – малыми (x, y, z, …). Например, если с.в. величина X принимает три значения, их обозначают x1, x2, x3.
Определение: Дискретной называют случайную величину (д.с.в.), которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений д.с.в. может быть конечным или счетным.
Определение: Непрерывной называют случайную величину (н.с.в.), которая принимает непрерывный ряд значений из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений н.с.в. бесконечно и несчетно.

характеристики
Определение: Законом распределения дискретной случайной величины (д.с.в.) называют соответствие

между ее возможными значениями и их вероятностями. Такое соответствие может быть задано таблично, аналитически (в виде формулы), графически.
Определение: Дискретным рядом распределения д.с.в. называется таблица, в которой перечислены (как правило, упорядоченно) все возможные значения д.с.в. и соответствующие им вероятности:


Прим. Значения д.с.в. не повторяются: xi  xj при i  j.
Д.с.в. X принимает с необходимостью одно из множества значений {x1, x2, …, xn}. События X = x1, X = x2, …, X = xn образуют полную группу. Поэтому с необходимостью: p1 + p2 + … + pn = 1.

закон распределения, представленный в графическом виде.
Пример 3. В магазине

в течение часа продано 12 пар обуви размеров 38, 39, 40, 38, 41, 42, 43, 43, 42, 43, 45, 44. Выписать дискретный ряд распределения д.с.в. X – размер проданной пары обуви; построить полигон распределения.
Решение: Упорядочим перечень проданных размеров по возрастанию: X = {38, 38, 39, 40, 41, 42, 42, 43, 43, 43, 44, 45} и сведем в таблицу и рис.

соответствующее максимуму закона (ряда) распределения.
Определение: Если (явно выделяющаяся) мода

одна  распределение называют унимодальным; если моды две – бимодальным и т.д.






Рис. Распределение выпускников школ РФ 2008, 2009 гг. по баллам ЕГЭ по математике. Сплошная вертикальная прямая – среднее значение; пунктир – порог прохождения.
На рис. представлены распределения выпускников школ РФ по математике 2008, 2009 гг. Распределение 2008 г. бимодально; распределение 2009 гг. унимодально, хотя имеются признаки выделения второй моды. Моды в обоих случаях приходятся на  42 б.

вероятностей, определяемое формулой Бернулли (0  k  n,

q = 1 – p):
Pn(k) = Cnkpkqnk.
В табличном виде ряд биномиального распределения есть:








Рис. Биномиальное распределение для p = 0,7; q = 0,3: (а) число испытаний n = 6; (б) n = 12.

распределение вероятностей, определяемое формулой Пуассона (np =  =

Const):
Pn(k) = (k/k!)e, k = 0, 1, 2, …
В табличном виде ряд распределения Пуассона есть:







Рис. Распределение Пуассона для p = 0,02; q = 0,98: (а) число испытаний n = 100; (б) n = 200.

распределение вероятностей, определяемое формулой:
P(k) = pqk1, k = 1, 2,

…
В табличном виде ряд геометрического распределения есть:







Рис. Геометрическое распределение для: (а) p = 0,7; q = 0,3; (б) p = 0,3; q = 0,7.

величины
Определение: Числовыми характеристиками (распределения) случайной величины называется набор чисел,

обобщенно характеризующих закон распределения этой с.в. (мода, математической ожидание, дисперсия, СКО и др.)
Определение: Математическим ожиданием дискретной случайной величины (д.с.в.) X называют сумму произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности:
M(X) = i xipi = x1p1 + x2p2 + …. + xnpn.
Пример 4. Найти математическое ожидание числа очков, выпадающих при бросании игральной кости.
Решение: Закон распределения д.с.в. X – число выпавших очков при бросании игральной кости является равномерным:


Математическое ожидание д.с.в. X равно:
M(X) = i xipi = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 3,5.
Ответ: M(X) = 3,5.

величины
Пример 5. Найти математическое ожидание суммы очков, выпадающих при

бросании пары игральных костей.
Решение: Закон распределения д.с.в. X – сумма выпавших очков при бросании пары игральных костей является треугольным (см. табл. и рис.):







Математическое ожидание д.с.в. X равно:
M(X) = i xipi = (1/36)(21 + 32 + 43 + … + 103 + 112 + 121) = 7.
Ответ: M(X) = 7.

ожидания.
Пусть произведено n испытаний, в которых д.с.в. X

приняла m1 раз значение x1, m2 раз значение x2, …, mk раз значение xk; при этом:
m1 + m2 + … + mk = n.
Определение: Средним арифметическим Xср д.с.в. X называют величину:
Xср = {x1m1 + x2m2 + … + xkmk},
или
Xср = x1w1 + x2w2 + … + xkwk,
где относительные частоты есть w1 = m1/n; w2 = m2/n; …; wk = mk/n.
При большом числе испытаний (n  ) относительные частоты стремятся к соответствующим вероятностям (закон больших чисел): w1  p1; w2  m2; …; wk  pk. Поэтому при больших n:
Xср  x1p1 + x2p2 + … + xkpk = M(X).
Утверждение. Математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше n) среднему арифметическому наблюдаемых значений д.с.в. В этом и состоит вероятностно – статистический смысл математического ожидания.

ожидание (М.О.) постоянной величины равно самой этой постоянной:
M(C)

= C.
Док-во: СРС.
Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак М.О.:
M(CX) = CM(X).
Док-во: СРС.
Свойство 3. М.О. произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
M(XY) = M(X)M(Y).
Док-во: СРС.
Свойство 4. М.О. суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий:
M(X + Y) = M(X) + M(Y).
Док-во: СРС.

(СКО)
Определение: Отклонением называют разность между с.в. X и ее

математическим ожиданием M(X) :
X = X  M(X).
Для отклонения X закон распределения имеет вид:


Прим. Величину X = X  M(X) также называют центрированной величиной.

Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю:
M(X) = M(X  M(X)).
Док-во: СРС.
Определение: Дисперсией (рассеянием) D(X) случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания:
D(X) = M(X2) = M((X  M(X))2).

(СКО)
Для квадрата отклонения X2 закон распределения имеет вид:



Дисперсия D(X)

с.в. может быть найдена по формуле:
D(X) = M((X  M(X))2) =
= p1(x1  M(X))2 + p2(x2  M(X))2 + … + pn(xn  M(X))2.

Теорема (формула вычисления дисперсии). Дисперсия равна разности между М.О. квадрата с.в. X и квадратом ее математического ожидания:
D(X) = M(X2)  (M(X))2 = M(X2)  M2(X).
Док-во: Для доказательства достаточно выписать цепочку равенств, следующую из свойств математического ожидания:
D(X) = M((X  M(X))2) = M(X2 2XM(X) + M2(X)) = M(X2)  M2(X), ч.т.д.

(СКО)
Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:
D(C) =

0.
Док-во: СРС.
Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат:
D(CX) = C2D(X).
Док-во: Достаточно применить формулу вычисления дисперсии:
D(CX) = M((СX)2)  (M(СX))2 = M(С2X2)  (СM(X))2 =
= С2M(X2)  С2(M(X))2 = С2[M(X2)  M2(X)] = C2D(X), ч.т.д.
Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:
D(X + Y) = D(X) + D(Y).
Док-во: По определению дисперсии:
D(X + Y) = M((X + Y)2)(M(X + Y))2 = M(X2 +2XY + Y2)(M(X) + M(Y))2 = = M(X2)+2M(XY ) + M(Y2)  M2(X) + 2M(X)M(Y) + M2(Y) = D(X) + D(Y), ч.т.д.

(СКО)
Свойство 4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна

сумме их дисперсий:
D(X  Y) = D(X) + D(Y).
Док-во: По доказанным свойствам дисперсии:
D(X  Y) = D(X + (1)Y) = D(X)+ D((1)Y)) = D(X)+ D((1)Y)) =
= D(X)+ (1)2 D(Y)) = D(X) + D(Y), ч.т.д.
Замечание: Дисперсия как мера разброса значений с.в. X не слишком удобна, т.к. имеет размерность квадрата с.в. С этой точки зрения более удобна величина, называемая средним квадратичным (квадратическим) отклонением (СКО); в западной терминологии СКО называют также стандартным отклонением.
Определение: Средним квадратичным отклонением (СКО) случайной величины X называют квадратный корень из дисперсии этой с.в.:
(X) = D(X).
Замечание: Свойства СКО (X) непосредственно вытекают из соответствующих свойств дисперсии D(X) случайной величины X.

(СКО)
Теорема. Среднее квадратичное отклонение суммы конечного числа взаимно независимых

случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов СКО этих величин:
(X1 + X2 + …+ Xn) = {2(X1) + 2(X2) + … + 2(Xn)}.
Док-во: По доказанным свойствам дисперсии:
(X1 + X2 + …+ Xn) = D(X1 + X2 + …+ Xn) =
= {D(X1) + D(X2) +…+ D(Xn)} = {2(X1) + 2(X2) +…+ 2(Xn)}, ч.т.д.
Теорема. Пусть имеется система из n независимых д.с.в. X1, X2, …, Xn, которые имеют одинаковые распределения, т.е. равные М.О., дисперсии и СКО: a(X1) = a(X2) = … = a(Xn) = a; D(X1) = D(X2) = … = D(Xn) = 2; (X1) = (X2) = … = (Xn) = . Тогда М.О., дисперсия и СКО среднего арифметического этих с.в., соответственно, равны:
M(Xср) = M[(X1 + X2 + … + Xn)] = a;
D(Xср) = D[(X1 + X2 + … + Xn)] =  2;
(Xср) = [(X1 + X2 + … + Xn)] = /n.
Док-во: СРС.

характеристики
Определение: (Интегральной) функцией распределения называют функцию F(X), определяющая вероятность

того, что случайная величина X в результате испытания примет значения, меньшее x, т.е.
F(X) = P(X  x).
Определение: Непрерывной называют случайную величину (н.с.в.) функция распределения которой является непрерывной, кусочно-гладкой функцией с кусочно-непрерывной производной.
Свойство 1. Значения функции распределения принадлежат промежутку [0; 1], т.е. F(x) изменяется в диапазоне 0  F(x)  1.
Док-во: СРС.
Свойство 2. Функции распределения является F(x) неубывающей:
F(x1)  F(x2) при x1  x2.
Док-во: СРС.
Следствие 1. Вероятность того, что с.в. X примет значения X  [a; b]:
P(a  X < b) = F(b)  F(a).
Следствие 2. Вероятность того, что с.в. X примет конкретное фиксированное значение X = a равна нулю.

величины принадлежат (a; b), тo
F(x) = 0 при x

 a и F(x) = 1 при x  b.
Док-во: СРС.
Определение: Графиком функции распределения называется представленная на координатной плоскости x-0-F(x) зависимость F(x) (в качестве примера см. рис.):





Рис. Функция распределения: (а) F(x) = ½ + (1/)arctg(x); (б) F(x) = ½ + ¼x, x  [2; 2].

Прим. График функции распределения дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид; в этом случае так же, как и для н.с.в., 0  F(x)  1.

(дифференциальной функцией распределения) функцию f(x)  первую производную интегральной

функции F(x):
f(x) = F(x).
Следствие. По плотности распределения f(x) путем интегрирования можно восстановить функцию распределения F(x):
x
F(x) =  f(x)dx.

Прим. Для дискретной случайной величины понятие плотности функции распределения f(x) не определено.
Теорема. Вероятность того, что н.с.в. X примет значения X  [a; b] может быть найдена интегрированием от a до b:
b
P(a  X < b) =  f(x)dx.
a
Прим. Геометрически это соответствует нахождению площади под графиком ПФР f(x) на промежутке [a; b].

распределения (вероятностей).
Сформулируем свойства плотности функции распределения f(x).
Свойство 1. Плотность

функции распределения f(x) неотрицательная функция.
Док-во: Функция распределения F(x) – неубывающая функция. Поэтому ее производная F(x) неотрицательна, ч.т.д.
Свойство 2. Несобственный интеграл от плотности распределения f(x) в пределах от  до + равен единице (условие нормировки):
+
 f(x)dx = 1.

Свойство 3 (вероятностный смысл плотности распределения). Вероятность того, что случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (x; x + dx), равна произведению плотности вероятности f(x) в точке x на ширину этого интервала dx:
dP(X) = F(x + dx)  F(x) = f(x)dx.

что с.в. примет значения из интервала (¼; ½) найдем

с помощью (интегральной) функции распределения F(x):
P(¼ < x < ½) = F(½)  F(¼) = (½)2[3  2½]  (¼)2[3  2 ¼] = 11/32.
Графики функций f(x), F(x) представлены на рис.






Рис. Плотность функции распределения: (а) f(x) = 6x(x  1) при x  [0; 1). Функция распределения (б) F(x) = x2[3  2x] при x  [0; 1).

Ответ: Плотность распределения f(x) = 6x(x  1) при x  [0; 1), f(x) = 0 при x  [0; 1). Функция распределения F(x) = x2[3  2x] при x  [0; 1); F(x) = 0 при x  0; F(x) = 1 при x  1. Вероятность P(¼ < x < ½) = 11/32.

распределения случайной величины на случай н.с.в.
Определение: Математическим ожиданием M(X)

непрерывной случайной величины X, называют величину интеграла:
+
M(X) =  xf(x)dx.

Определение: Дисперсией D(X) н.с.в. X, называют величину:
+
D(X) =  [x  M(X)]2f(x)dx.

Определение: Средним квадратичным (стандартным) отклонением (СКО) (X) н.с.в. X, называют квадратный корень из дисперсии:
(X) = D(X).
Замечание: Если фактическим диапазоном изменения ПФР f(X) является промежуток (a; b), т.е. f(x) отлично от тождественного нуля при x  (a; b), то несобственные интегралы в пределах от  до + в определениях M(X) и D(X) могут быть заменены определенными интегралами в пределах от a до b.

D(X) н.с.в. X может быть найдена по формуле:

+
D(X) =  x2f(x)dx  M2(X) = M(X2)  M2(X),

где математическое ожидание
+
M(X) =  xf(x)dx.

Док-во: Доказательство утверждения осуществляется путем цепочки преобразований, следующих непосредственно из определения дисперсии н.с.в.:
+ +
D(X) =  [x  M(X)]2f(x)dx =  [x2  2xM(X) + M2(X)]f(x)dx =
 
+ + + +
=  x2f(x)dx  2M(X) xf(x)dx + M2(X)  f(x)dx =  x2f(x)dx  M2(X) =
   
= M(X2)  M2(X), ч.т.д.

называется распределение вероятностей, заданное ПФР f(X) вида:
f(x) =

С = Const при x  (a; b), f(x)  0 при x  (a; b).
Найдем числовые характеристики равномерно распределенной с.в. X.
 Нормировка:
+ b
 f(x)dx =  Cdx = C(b  a) = 1, откуда C = 1/(b  a).
 a
 Математическое ожидание:
+ b
M(X) =  xf(x)dx = [1/(ba)]  xdx = ½ (b2  a2)/(b  a) = ½ (b + a).
 a
 Дисперсия:
+ b
D(X) =  x2f(x)dx  M2(X) = [1/(ba)]  x2dx  [½ (b + a)]2 =
 a
= ⅓ (b3  a3)/(b  a)  ¼ (b + a)2 =  (b  a)2.
 СКО: (X) = D(X) = (b  a)/23.

X, равномерно распределенной в промежутке от a = 1

до b = 5.
Решение: Нормируем ПФР для равномерного на (1; 5) распределения:
5
 Cdx = C(5  1) = 4C = 1, откуда C = ¼.
1
Так что ПФР f(x) = ¼ при x  (1; 5) и f(x)  0 при x  (1; 5) (см. рис.).
Функция распределения F(X) равна F(x) = ¼(x  1) при x  (1; 5).





5
Математическое ожидание: M(X) = ¼  xdx = ¼½(52  12) = 3.
1
5
Дисперсия: D(X) = ¼  x2dx  M2(X) = ¼⅓(53  13)  3 = 7.
1
СКО: (X) = D(X) = 22/3  2,708.

Carl Friedrich Gauß; 30 апреля 1777,
Брауншвейг  23

февраля 1855 г., Геттинген 
Немецкий математик, астроном и физик,
считается одним из величайших математиков
всех времён, «королём математиков».

Дед Гаусса был бедным крестьянином, отец — садовником,
каменщиком, смотрителем каналов в герцогстве Брауншвейг. Уже в
двухлетнем возрасте мальчик показал себя вундеркиндом. В три года
он умел читать и писать, даже исправлял счётные ошибки отца. Согласно
легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое
время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Юный Гаусс
заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы:
1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат 101  50 = 5050. До самой старости он привык большую часть вычислений производить в уме.
С учителем ему повезло: М. Бартельс (впоследствии учитель Лобачевского) оценил исключительный талант юного Гаусса и сумел выхлопотать ему стипендию от герцога Брауншвейгского. Это помогло Гауссу закончить колледж Collegium Carolinum в Брауншвейге (1792—1795).

множеством языков, Гаусс некоторое время колебался в выборе между

филологией и математикой, но предпочёл последнюю. Он очень любил латинский язык и значительную часть своих трудов написал на латыни; любил английскую, французскую и русскую литературу. В возрасте 62 лет Гаусс начал изучать русский язык, чтобы ознакомиться с трудами Лобачевского, и вполне преуспел в этом деле.
В колледже Гаусс изучил труды Ньютона, Эйлера, Лагранжа. Уже там он сделал несколько открытий в теории чисел, в том числе доказал закон взаимности квадратичных вычетов. Лежандр, правда, открыл этот важнейший закон раньше, но строго доказать не сумел; Эйлеру это также не удалось. Кроме этого, Гаусс создал «метод наименьших квадратов» (тоже независимо открытый Лежандром) и начал исследования в области «нормального распределения ошибок».
С 1795 по 1798 год Гаусс учился в Гёттингенском университете. Это наиболее плодотворный период в жизни Гаусса.
1796 год: Гаусс доказал возможность построения с помощью циркуля и линейки правильного семнадцатиугольника. Более того, он разрешил проблему построения правильных многоугольников до конца и нашёл критерий возможности построения правильного n-угольника с помощью циркуля и линейки: если n — простое число, то оно должно быть вида 22k + 1 (числом Ферма). Этим открытием Гаусс очень дорожил и завещал изобразить на его могиле правильный 17-угольник, вписанный в круг.
С 1796 года Гаусс ведёт краткий дневник своих открытий. Многое он, подобно Ньютону, не публиковал, хотя это были результаты исключительной важности (эллиптические функции, неевклидова геометрия и др.). Своим друзьям он пояснял, что публикует только те результаты, которыми доволен и считает завершёнными. Многие отложенные или заброшенные им идеи позже воскресли в трудах Абеля, Якоби, Коши, Лобачевского и др. Кватернионы он тоже открыл за 30 лет до Гамильтона (назвав их «мутациями»).
Все многочисленные опубликованные труды Гаусса содержат значительные результаты, сырых и проходных работ не было ни одной.

закончен шедевр «Арифметические исследования» (лат. Disquisitiones Arithmeticae), напечатана только

в 1801 году.
В этом труде подробно излагается теория сравнений в современных (введенных им) обозначениях, решаются сравнения произвольного порядка, глубоко исследуются квадратичные формы, комплексные корни из единицы используются для построения правильных n-угольников, изложены свойства квадратичных вычетов, приведено его доказательство квадратичного закона взаимности и т. д. Гаусс любил говорить, что математика — царица наук, а теория чисел — царица математики.
1798—1816 годы
В 1798 году Гаусс вернулся в Брауншвейг и жил там до 1807 года. Герцог продолжал опекать молодого гения. Он оплатил печать его докторской диссертации (1799) и пожаловал неплохую стипендию. В своей докторской Гаусс впервые доказал основную теорему алгебры. До Гаусса было много попыток это доказать, наиболее близко к цели подошёл Д'Аламбер. Гаусс неоднократно возвращался к этой теореме и дал 4 различных доказательства её.
С 1799 года Гаусс — приват-доцент Брауншвейгского университета.
1801 год: избирается членом-корреспондентом Петербургской Академии наук.
После 1801 года Гаусс, не порывая с теорией чисел, расширил круг своих интересов, включив в него и естественные науки. Катализатором послужило открытие малой планеты Церера (1801), вскоре после наблюдений потерянной. 24-летний Гаусс проделал (за несколько часов) сложнейшие вычисления по новому, открытому им же методу, и указал место, где искать беглянку; там она, к общему восторгу, и была вскоре обнаружена.
Слава Гаусса становится общеевропейской. Многие научные общества Европы избирают Гаусса своим членом, герцог увеличивает пособие, а интерес Гаусса к астрономии ещё более возрастает.

.

Гаусс женился на Иоганне Остгоф. У них было трое

детей.
1806 год: от раны, полученной на войне с Наполеоном, умирает его великодушный покровитель-герцог. Несколько стран наперебой приглашают Гаусса на службу (в том числе в Петербург). По рекомендации Александра фон Гумбольдта Гаусса назначают профессором в Гёттингене и директором Гёттингенской обсерватории. Эту должность он занимал до самой смерти.
1807 год: наполеоновские войска занимают Гёттинген. Все граждане облагаются контрибуцией, в том числе огромную сумму — 2000 франков — требуется заплатить Гауссу. Ольберс и Лаплас тут же приходят ему на помощь, но Гаусс отклонил их деньги; тогда неизвестный из Франкфурта прислал ему 1000 гульденов, и этот дар пришлось принять. Только много позднее узнали, что неизвестным был курфюрст Майнцский, друг Гёте.
1809 год: новый шедевр, «Теория движения небесных тел». Изложена каноническая теория учёта возмущений орбит. Как раз в четвёртую годовщину свадьбы умирает Иоганна, вскоре после рождения третьего ребёнка. В Германии разруха и анархия. Это самые тяжёлые годы для Гаусса.
1810 год: новая женитьба, на Минне Вальдек, подруге Иоганны. Число детей Гаусса вскоре увеличивается до шести.
1810 год: новые почести. Гаусс получает премию Парижской академии наук и золотую медаль Лондонского королевского общества.
1811 год: появляется новая комета. Гаусс быстро и очень точно рассчитывает её орбиту. Начинает работу над комплексным анализом, открывает (но не публикует) теорему, позже переоткрытую Коши и Вейерштрассом: интеграл от аналитической функции по замкнутому контуру равен нулю.
1812 год: исследование гипергеометрического ряда, обобщающего разложение практически всех известных тогда функций. Знаменитую комету «пожара Москвы» (1812) всюду наблюдают, пользуясь вычислениями Гаусса.
1815 год: публикует первое строгое доказательство основной теоремы алгебры.

.

.

год: в связи с работами по геодезии Гаусс начинает

исторический цикл работ по теории поверхностей. В науку входит «гауссова кривизна». Положено начало дифференциальной геометрии. Именно результаты Гаусса вдохновили Римана на его классическую диссертацию о «римановой геометрии».
Итогом изысканий Гаусса была работа «Исследования относительно кривых поверхностей» (1822). В ней свободно используются общие криволинейные координаты на поверхности. Гаусс далеко развил метод конформного отображения, которое в картографии сохраняет углы (но искажает расстояния); оно применяется также в аэро/гидродинамике и электростатике.
1824 год: избирается иностранным членом Петербургской Академии наук.
Гаусс в 1828 г.1825 год: открывает гауссовы комплексные целые числа, строит для них теорию делимости и сравнений. Успешно применяет их для решения сравнений высоких степеней.
Гаусс и Вебер. Скульптура в Гёттингене.1831 год: умирает вторая жена, у Гаусса начинается тяжелейшая бессонница. В Геттинген приезжает приглашённый по инициативе Гаусса 27-летний талантливый физик Вильгельм Вебер, с которым Гаусс познакомился в 1828 году, в гостях у Гумбольдта. Оба энтузиаста науки сдружились, несмотря на разницу в возрасте, и начинают цикл исследований электромагнетизма.
1832 год: «Теория биквадратичных вычетов». С помощью тех же целых комплексных гауссовых чисел доказываются важные арифметические теоремы не только для комплексных, но и для вещественных чисел. Здесь же он приводит геометрическую интерпретацию комплексных чисел, которая с этого момента становится общепринятой.
1833 год: Гаусс изобретает электрический телеграф и (вместе с Вебером) строит его действующую модель.
1837 год: Вебера увольняют за отказ принести присягу новому королю Ганновера. Гаусс вновь остался в одиночестве.

62-летний Гаусс овладевает русским языком и в письмах в

Петербургскую Академию просил прислать ему русские журналы и книги, в частности «Капитанскую дочку» Пушкина. Предполагают, что это связано с работами Лобачевского. В 1842 году по рекомендации Гаусса Лобачевский избирается иностранным членом-корреспондентом Гёттингенского королевского общества.
Умер Гаусс 23 февраля 1855 года в Гёттингене.
Современники вспоминают Гаусса как жизнерадостного, дружелюбного человека, с отличным чувством юмора.