Презентация на тему Решение тригонометрических уравнений. (10 класс)

a + 1)
Б) sin2 a – 1 + cos2

Ответы
- cos2 a
0
2

|1- tg х|

из [0;π], что
cos t = а.
Причём, | а

arccos(- а) = π- arccos а

Примеры:

1)arccos(-1)

= π

2)arccos( )

а

- а

arcsin(- а)= - arcsin а

Арксинусом числа а называется
такое число (угол) t из [-π/2;π/2],
что sin t = а.
Причём, | а |≤ 1.

t из (-π/2;π/2),
что tg t = а .
Причём,

arctg(-а) = - arctg а

-а

arctg(-а )

Примеры:

1) arctg√3/3 =

π/6

2) arctg(-1) =

-π/4

(угол) t из (0;π),
что ctg t = а.
Причём,

arcctg(- а) = π – arcctg а

- а

arcctg(- а)

1) arcctg(-1) =

Примеры:

3π/4

2) arcctg√3 =

π/6

где |а| ≤ 1


или

Частные случаи
1) cost=0
t = π/2+πk‚

2) cost=1
t = 2πk‚ kЄZ

3) cost = -1
t = π+2πk‚ kЄZ

а, где | а |≤ 1


или

Частные случаи
1) sint=0

2) sint=1
t = π/2+2πk‚ kЄZ

3) sint = - 1
t = - π/2+2πk‚ kЄZ

аЄR
t = arctg а + πk‚ k ЄZ
4.

t = arcctg а + πk‚ kЄZ

3π/4
arcsin √2/2
arccos 1
arcsin (- 1/2 )
arccos (-

2 вариант
cos (-π/4 )
sin π/3
ctg π/6
tg π/4
sin (-π/6)
cos 5π/6
arccos √2/2
arcsin 1
arccos (- 1/2)
arcsin (- √3/2)
arctg √3/3

1
√3/2
√2/2
π/4
0
- π/6

Ответы 2 вариант
√2/2
√3/2
√3
1
- 1/2
- √3/2
π/4
π/2
2π/3
- π/3
π/6

2х+1 ≤1
-2≤ 2х ≤0

2) -1≤ 5-2х ≤1
-6≤ -2х ≤ -4
2≤ х ≤3
Ответ: [2;3]

1.arcsin(2x+1)

3.arccos(x²-1)

1) -1≤ 2х+1 ≤1
-2≤ 2х ≤0
-1≤ х ≤0
Ответ: [-1;0]

tgt = 1;

t= ±arccos(-1/2)+2πk, kЄZ

t= ±

Частный случай:
t = πk, kЄZ

t = arctg1+πk, kЄZ

t = + πk, kЄZ.

= arctg (-1) + πk, kЄZ
2x

2) cos(x+π/3) = ½

x+π/3 = ±arccos1/2 + 2πk, kЄZ
x+π/3 = ±π/3 + 2πk, kЄZ
x = -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ

Ответ: -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ

3) sin(π – x/3) = 0
упростим по формулам приведения
sin(x/3) = 0
частный случай
x/3 = πk, kЄZ
x = 3πk, kЄZ.
Ответ: 3πk, kЄZ.

новой переменной
a∙sin²x + b∙sinx + c=0
Пусть sinx

sinx) и методом введения новой переменной.
a∙sinx + b∙cosx =

Виды тригонометрических уравнений

Пример. Решите уравнение sinx + 2cosx = 0.
Решение: Разделим обе части уравнения на cosx.

Получим








Ответ:

х (или sin²x) и методом введения новой переменной.
a∙sin²x +

Виды тригонометрических уравнений

П р и м е р .   Решить уравнение:  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.
 
   Р е ш е н и е .  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,
 
                             sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,
 
                             tg2 x + 4 tg x + 3 = 0 ,  отсюда  y 2 + 4y +3 = 0 ,
 
                             корни этого уравнения:  y1 = −1,  y2 = −3,  отсюда
                           1)   tg x = –1,  2)   tg x = –3,

Ответ:

cosx = C. А,

  sin x + cos x = 1 .
    Р е ш е н и е .   Перенесём все члены уравнения
влево: 
                      sin x + cos x – 1 = 0 ,

универсальной
тригонометрической подстановки

Решаются с помощью введения вспомогательного аргумента.


А

Универсальная подстановка.
х ≠ π + 2πn;

Понижение степени.
= (1 + cos2x ) : 2
= (1 – cos 2x) : 2

Метод вспомогательного аргумента.

сумму.

Увидел сумму – делай произведение.

подстановка).

Этими операциями мы сужаем область определения.

2. Лишние корни:

Потеря корней, лишние корни.

sin x+ 5 cos x = 0
5 sin2 х

Вариант 2.
На «3»
cos x+ 3 sin x = 0
6 sin2 х - 5 sinх cos х + cos2х =0
На «4»
2 sin2 x – sin x cosx =0
4 sin2 х - 2sinх cos х – 4 cos2х =1
На «5»
2 sin x - 3 cos x = 4
2 sin2 х - 2sin 2х +1 =0